48 



De. Hugo Gyldén, 



Bei diesen Integralen ist der Integrationsweg stets geradlinig angenommen worden, 

 damit die Bestimmung der Constanten eindeutig herausfallen sollte ; es versteht sich , dass 

 später, bei Anwendung der Gleichungen (A) oder (B), der Integrationsweg ebenfalls gerad- 

 linig angenommen werden muss. Es ist auch nicht nöthig die doppelten Vorzeichen, wo sie 

 vorkommen, zu berücksichtigen, wenn man immer conséquent verfährt ; wir werden also 

 später bloss die oberen Zeichen wählen. 



Die Werthe einiger der Integrale, die in der obigen Zusammenstellung vorkommen, 

 lassen sich noch in anderer Weise ausdrücken. Es sind diejenigen, deren Gränzen К und 

 К ± V — 1 K' sind. Man erlangt diese zweite Form sehr leicht, indem man diejenigen 

 Integrale der Gleichungen (A), die in den letzten Gliedern vorkommen, auf die Gränzen о 

 und 1 reducirt. Durch eine solche Réduction erlangt man : 



i 



J 



x 2n dx 



Y (\ — x 2 )(l — k 2 x 2 ) 



= У-1 



1 



(l — k' 2 x 2 ) n dx 



j^nj Y{l — x 2 ){\-k' 2 x 2 ) 



i 



к 



I 



Y (1-х 2 ) (l — k 2 x 2 ) 



= V-1 



1 



(l-k' 2 x 2 ) n dx 

 Yl — x 2 



J 



x 2n dx 



Y{l—x 2 )(k' 2 +k 2 x 2 ) 



= V-l (-1) 



n /¥Ѵ п Г x 2n dx 

 \ * / J Y (1-х 2 ) (к 2 -* 



2 )(к 2 -*-к' 2 х 2 ) 



T/=î 



Ж 2П-Н1 fa 



Y(l—x 2 )(k' 2 +k 2 x 2 ) 



= (-1) 



it+1 



1 



ж 2 "-*- 1 dx 



2 -+-к' 2 х 2 ) 



/vir 



x m dx 



х 2 )(х 2 — к' 2 ) 



x 2n dx 



1 — х 2 )(1 — к' 2 х 2 ) 



о 



I 



х™-* 1 dx 



Y (1-х 2 ) (х 2 — к' 2 ) 



= У— 1 к 



î 



/2и+1 J* 



Д.2П-І-1 dx 



Ѵ(1 — х 2 )(1 — к' 2 х 2 ) 



Aus diesen Gleichungen entnehmen wir unter anderen die folgenden Werthe, wobei 

 das zur Modul к' gehörige vollständige Integral zweiter Gattung mit E' bezeichnet wird, 



