De. Hugo Gyldén, 

 § 12. 



Wir haben in dem vorhergehenden Paragraphen die Grössen S 0 {2n) u. s. w. vermittelst 

 bestimmter Integrale ausgedrückt ; es bleibt uns nun übrig die letzteren zu berechnen. Zu 

 diesem Zwecke lassen sich allerdings eine grosse Menge Vorschriften angeben , allein wenn 

 n nicht eine kleine Zahl oder auch eine sehr grosse bedeutet und dabei к oder eventuell Je 

 sich wenig von der Einheit unterscheidet, sind es wenige, die als practisch brauchbar em- 

 pfohlen werden können. Die Fälle, wo n nur einige wenige Einheiten gross ist, haben hier 

 wenig Interesse und können jetzt um so mehr übergangen werden, als ihre Behandlung 

 nach den gewöhnlichen Regeln für die Berechnung elliptischer Integrale durchaus keine 

 Schwierigkeit darbietet. Wir nehmen also an, dass n grössere Werthe annimmt, als dass 

 die gewöhnlichen Methoden mit Erfolg anwendbar wären, und suchen zunächst Entwick- 

 lungen für die fraglichen Integrale, die bei sehr grossen Werthen von n anwendbar sind. 

 Solche finden wir sehr leicht, es ist nämlich 



I 



50 



l 



Г x* n dx jx_ 1.3. .(2h— 1) ! , _ _1_ 1 №\ _ ЬЗ 1.3 W)& \ 



I Ѵ(І—х г )П — к 2 х 2 ) 21c ' 2.4... 2я ( 2 2w-+-2 \k' 2 ) ~*~ 2.4 (2и-ь2) (2ич-4) \к' г ) ' ' '} 



Y{1— œ 2 )(l— Ä 2 ^) 



б 



î 



1.3 



Г x 2n dx je 1.3..(2w— 1) ( . _1_ 1 м' 1^ 



J Ѵ{\—х 2 )[Ѵ 2 -л-Ъ 2 х 2 ) 2 2.4... 2n \ ~*~ 2 2и-н2 2. 



4 (2ич-2)(2и-ь4) 



к* 



Die erste dieser Reihen ist allerdings divergent , sobald k>k f ; bei genügend grossen 

 Werthen von n geben indessen die ersten Glieder einen genäherten Werth des Integrals. 

 Die zweite Reihe convergirt immer, wenn к < 1 . Diesen Entwicklungen entsprechend er- 

 halten wir auch 



l 



J : 



Y(l — х 2 ){\— k 2 x 2 ) 1.3..(2»м- 



l 



1) l 1 2 2ич-3 U' 2 J " + " 2.4 (2и-нЗ)(2и-ь5) \fc' 2 j ' " ' J 



V(l-x 2 )(fc' 2 H-fc^ 2 ) 1.3..(2n + l) V ^ 2 2п-нЗ ѣ ^ 2.4 (2и-нЗ) (2и-ь5) ft J 



Um eine bei grossen n zweckmässige Entwicklung für das Integral 



l 



(1— k°-x 2 ) n dx 



Ya-x 2 )(i—k*x 2 ) 



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