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56 Dr. Hugo Gyldén, 



Wenn man von der in diesem Paragraphen vorgetragenen Methode rein numerische 

 Anwendungen machen will, so liegt die Hauptschwierigkeit in der Berechnung von H'(o). 

 Die Grössen Я'(і) u. s. f. brauchen nämlich weniger genau berechnet zu werden, da sie 

 mit den kleinen Factoren \ fc 2 , \*к£ u. s. w. zu multipliciren sind. Die Berechnung von 

 H" (6) u. folg. ist wiederum mit keinen Schwierigkeiten verbunden, weil die diese Functio- 

 nen darstellenden Reihen bereits rasch convergiren, wenn man extreme Fälle ausnimmt. 

 Meistens ist aber auch die Berechnung von H'(o) leicht genug, weil die Coefficienten Я(о), 

 H(i) u. s. w. gewöhnlich an und für sich eine absteigende Reihe bilden. Indessen erscheint 

 es als ob man vermittelst passender Umformungen auch diesen Theil der Rechnung abzu- 

 kürzen im Stande wäre, und in der That giebt es Fälle, wo dies geschehen kann. Ich habe 

 jedoch keine Veranlassung gefunden, die vorliegenden Untersuchungen nach dieser Rich- 

 tung hin auszudehnen. 



Die Bedingung, dass f(y) eine ganze rationale Function von sin cp 2 sein muüsste, ist 

 übrigens keineswegs wesentlich : im Gegentheil behalten die soeben entwickelten Formeln 

 ihre volle Gültigkeit, wenn die für f(<p) angegebene Reihe convergirt. Alsdann kann be- 

 merkt werden, dass die für H'(o) und noch mehr die für H" (o) u. folg. abgeleiteten Reihen 

 auch bei Werthen von die sehr nahe der Einheit liegen, erheblich stärker convergiren, 

 als die ursprüngliche für f(q>). 



Obgleich die vorgetragene Materie zu vielen interessanten Untersuchungen Veranlas- 

 sung geben könnte halte ich es doch für angemessen vorläufig hier abzuschliessen. 



§ 14. 



Bei vielen numerischen Rechnungen ist es weder nothwendig, noch vortheilhaft , die 

 gesuchten Grössen als Functionen der Rechnungselemente algebraisch entwickelt zu be- 

 sitzen oder in solcher Form zu berechnen. Es genügt vielmehr häufig ein gewisses Schema, 

 wonach die Rechnung auszuführen ist, entworfen zu haben, und einem solchen gelingt es 

 oft, durch passend abgekürzte Bezeichnungen eine grosse Einfachheit und Uebersichtlich- 

 keit zu geben. Zu den hiermit begründeten Reclmungsverfahren gehört unter anderen die 

 jetzt vielfach angewandte Methode der mechanischen Multiplicationen. Freilich wird der 

 analytische Faden, welcher die Resultate mit dem Gegebenen der Rechnung verbindet, 

 meistens verdeckt, allein wo jene bloss numerisch verlangt werden, erwächst hieraus kein 

 wesentlicher Uebelstand. 



Für die Entwicklung derjenigen elliptischen Functionen, die wir in den vorhergehen- 

 den Paragraphen behandelt haben , werde ich nun ein solches mechanisches Verfahren an- 

 geben. Dabei werde ich eine gewisse Ausführlichkeit beobachten müssen , um in der 

 Folge, wo analoge Methoden eine zweckmässige Anwendung finden, mich kürzer fassen 

 zu können. 



