Studien auf dem Gebiete dee Störttngstheokie. 57 



Diese beruhen auf folgendem allgemeinen Verfahren. Es sei zur Entwicklung die 

 nachstehenden Functionen vorgelegt : 



у 2g { Xj cos x ■+■ x 2 cos 2x -t- • • • } 



und 



T „ 2 Y — 1 g { X t sin x ■+- X 2 sin 2# -+- • ■ • } 



У У — ѳ 



in welchen der Buchstabe g nicht dieselbe Bedeutung zu haben braucht und überhaupt eine 

 reelle oder imaginäre beliebige Grösse bezeichnet. Die Coefticienten x n x 2 . . . nicht min- 

 der wie die X n X 3 . r . nehmen wir dagegen als reell an, sowie dass sie, wenn ihre Anzahl 

 nicht endlich ist, eine convergirende Reihe bilden. Wir setzen ferner 



V = K 0 -+- 2K l cos X -+- 2K 2 COS 2X -t- • • ■ 

 TF — L 0 H- 2Lj COS« ■+- 2L 2 COS2X -t- • • • 



-+- У 1 { 2-L'j Sin Ж ! 2L' 2 Sin 2Ж + • ■ • } 



und stellen uns demnach die Aufgabe die Coefficienten dieser Reihen zu finden. Wir setzen 



У— la: 



e = t 



und erlangen somit 



y — W * H " x 2 42 4 — ! -»- # ! M —l x 2 f— 2 4 — i 

 + — ! — 9\\ t~ 1 ^-x„4- 2 h — } 



)к = e 



Die Entwicklung dieser Ausdrücke nach den steigenden und fallenden Potenzen von / 

 kann nun auf mehreren Wegen erlangt werden. Wir können sie zunächst als unendliche 

 Producte darstellen, und nachdem die Entwicklungen der einzelnen Factoren ausgeführt 

 worden sind, ergiebt sich das Resultat vermittelst mechanischer Multiplicationen. Den ein- 

 zelnen Factoren geben wir hierbei die Form 



О 



indem wir mit m eine beliebige ganze Zahl bezeichnen und l m sowohl reell als imaginär 

 sein kann. Wenn die unteren Zeichen gelten sollen, so erkennt man sogleich, dass die Ent- 

 wicklungscoefficienten mit den Cylinderfunctionen identisch sind. Demiiren wir also mit 



Hansen die Function J. (v) vermittelst der Gleichung 



hn 1.2.3...V ( І.ѵ-ні 1.2.\»-h1.v- 



Mémoires do 1 Acad. Imp. des sciences, YHmo Serie. 



