Studien auf dem Gebiete der Störungstheorie. 



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IV. Die Functionen sin n amu und cos n amu. 



§ 20. 



Schon in der Einleitung habe ich darauf aufmerksam gemacht, welche wichtige Rolle 

 die in der Ueberschrift genannten Functionen bei den gegenwärtigen Untersuchungen spie- 

 len. Es ist demnach gerechtfertigt, den Eigenschaften jener, namentlich ihrer Darstellung 

 als unendliche trigonometrische Reihen eine besondere Aufmerksamkeit zu widmen. Ich 

 fange damit an, ihre Ausdrücke durch einfache elliptische Functionen anzugeben. Diese 

 folgen zum Theil augenblicklich aus den bekannten Eigenschaften der trigonometrischen 

 Functionen von vielfachen Winkeln , nämlich : 



( . 2«[(2n) 2 — 2 2 ] . о ) 



sm 2n amu = cos amu l 2n sin amu ііГз — sin am -*-•■••} 



(2nf . о (2n) 2 [(2w) 2 — 2 2 ] . * 



cos 2w amu = і — sm ати г -+- V 0 . , — * sin amu 



1.2 1.2.3.4 



. . s 2п-н1 . (2и-ч-1) [(2И-+-1) 2 — 1 2 1 . s 



sin (2w-*-i) amu = — ^ — sin amu іТз sin amu -+-••• 



. v ( (2n-t-l) 2 -l 2 . о Г(2п+2) 2 -1 2 ] [(2n+l) 2 -3 2 l . 4 \ 



cos [2Ѣ+-1) amu = cos amu j l — s — ^ — sm ати г -+■ 1 Г2ЗІ — : ^ sin аш * " ' f 



sin waww = sin amu |(2 cosam^)" -1 — ^ (2 cosamu) n ~ s ^ w ~ 8 ^ ^~ 4 ) (2COS6mm) n ~ s 1 



1 (/ \П П / \n — 2 n(n — 3) / 4 n — 4 ) 



cos n amu = - U2 cos amu) — у (2 cos amu) н Y2 ( 2 cos aww ) ' ' } 



(i) 



(и) 



Bei dem ersten dieser Gleichungssysteme haben wir zwischen geraden und ungeraden 

 Vielfachen" unterschieden, bei dem zweiten war dieses nicht nöthig. Durch die zweite For- 

 mel des ersten Systems ebenso wie durch die zweite des zweiten ist cos n amu als Func- 

 tion von Potenzen einfacher elliptischer Functionen ausgedrückt. Die dritte Formel des 

 ersten Systems liefert eine ähnliche Darstellung des Sinus einer ungeraden Vielfachen 

 der Amplitude. Für den Sinus einer geraden Vielfachen giebt es keine derartige Formel, 

 dagegen lässt sich diese Grösse als eine Summe der ersten Differentialquotienten von Po- 

 tenzen der einfachen elliptischen Function Д angeben. Ebenso kann man den Cosinus einer 

 geraden Vielfachen durch eine Summe von Potenzen dieser Function angeben. Wir w r erden 

 diese Ausdrücke jetzt aufsuchen. 



In der augenblicklich herzustellenden Gleichung 



2namuY— 1 , „ . «, , . ,„ 



e — jcos amu 2 — sinaww 2 -*- 2У — 1 cosa»m smamu] 



Mémoires de 1 Acad. Imp. des sciences, Tllme Série. 11 



