Ueber die Dämpfung von Schwingungen bei grössern Amplituden. 



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Cap. I. 

 § 1. 



Wir beginnen mit dem Hinweis auf zwei, an und für sich selbstverständliche Sätze, 

 die aber doch, in der Form ausgesprochen, in den weiter folgenden Rechnungen vielfache 

 Anwendung finden werden. Es sei A der angenäherte Werth irgend einer Grösse und A н- a 

 der genauere Werth derselben Grösse, wo a sehr klein ist im Vergleich mit A. Wir wol- 

 len nun ein für alle Mal A-+-a den corrigirten Werth der betreffenden Grösse, A den 

 Haupttheil und a den additiven Theil des corrigirten Werthes nennen. 



Es sei F(x) — 0 irgend eine Gleichung und x = <p deren völlig exacte Lösung. Die 

 corrigirte Gleichung sei F(x) -+- f(x) = 0, wo f(x) der sehr kleine additive Theil ist. Es soll 

 die Lösung <pj der corrigirten Gleichung gefunden werden. Wir setzen <p, = cp н- ф ; es 

 muss also 



F (9 и- ф) -+- f (ф -+- ф) = О 



sein. Da nun aber /'sehr klein gegen F und zugleich ф sehr klein gegen 9 ist, so können 

 wir, mit Weglassung kleiner Grössen zweiten Grades, statt der obigen Gleichung 



F( ? + ^)4-f( ? ) = 0 



setzen. 



Die hier zu Grunde liegende Betrachtung kann folgendermassen ausgedrückt werden: 

 Satz I. Ist die genaue Lösung 9 einer angenäherten Gleichung bekannt und soll die Lö- 

 sung der corrigirten Gleichung gefunden werden, so hat man in den Haupttheil der corrigirten 

 Gleichung den corrigirten Wurzelwerth 9 -+- ф, in den additiven Theil der Gleichung dagegen 

 nur den Haupttheil 9 einzusetzen. 

 Also: 



angenäherte Gleichung 



F (9) = 0; 



corrigirte Gleichung 



F (9 + ф) + f{ 9 ) = 0 (а) 



Es habe nun zweitens irgend eine Function F(x) durch Einsetzen des Specialwerthes 

 x l für x den Werth О erhalten. Es soll der corrigirte Werth gefunden werden, der 



entsteht, wenn in die corrigirte Function F(x) -+- f(x) der corrigirte Special werth x 1 -*~^ 

 für x gesetzt wird. Offenbar ist 



Û + M = F(ï 1 + 9 + f(« I + I). 



Auch hier kann, aus denselben Gründen wie oben, in dem letzten Gliede, statt x x -+- 1, ein- 

 facher x x gesetzt werden. 



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