Die SPIRAL-GEWUNDENEN FORAMINIEEEEN DES RUSSISCHEN KOHLENKALKS. 



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2. Für den, von den beiden oben angeführten Kadien gebildeten Diameter, wenn wir 



der Kürze wegen ^ " = A setzen, 



D = r -H / = 2 E -+- ^ [2^ (gi -4- 1) -~ 2]. ') 

 3. Und für die Tangente des Tangentialwinkels 4^ der äusseren Spirale 



о т jiqfi log g ' ^ 



Nun fragt es sich, unter welchen Bedingungen wird die im "Wachsthum begriffene 

 Schale, statt der zweiten oder äusseren Spirale, eine Kreislinie beschreiben und folglich 

 sich vollständig verschliessen? Oder mit anderen Worten, unter welchen Umständen kön- 

 nen, in den oben angeführten Gleichungen, 



r — r' — D = 2R und tang ф = oo 



werden? 



Mit dem Anliegen diese Frage, wenn möglich, zu beantworten, wandte ich mich an 

 meinen verehrten Collegen, Professor der Mathematik am Berg-Institut, Hrn. G. Thieme, 

 dem ich folgende Zeilen zu verdanken habe: 



«Um das obige Resultat zu erzielen, d. h. alle Umgänge der äusseren Spirale mit 

 dem, durch den Archiradius R beschriebenen, Kreis zusammenfallen zu lassen, muss in 

 den Naumann'schen Gleichungen der Windungsquotient = 0 gesetzt werden, 

 weil man im anderen Falle eine Spirale, mit von einander, nach dem Werthe von q, 

 mehr weniger abstehenden Umgängen, erhält.» 



Eben dasselbe findet auch unzweifelhaft statt, wenn die Schale sich nach der logarith- 

 mischen Spirale einrollt. Naumann") führt, in der That, für die Diplospirale, deren inne- 

 rer Zweig eine logarithmische Spirale darstellt, folgende Formel an: 



'• = «'-b^f!^-'('/- 1), ') 



wo a' der Archiradius der äusseren Spirale, oder zugleich der letzte Radius der inneren 

 Spirale, also = ap" ist. 



Der folgende semissodistante Radius ist also: 



r = а -i- {q qi — 1). 



Diese beiden Radien werden, bei g — 0, 



r = a, r' = a' und der Diameter I) = r -\- r' ~ 2a'. 



m — 1 



1) NaumanD, id., ibid. j 3) Die zweite Naiimann'sche Abb., p. 179 



2) Die erste Abb. desselben Autors, p. 171. | 



