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o # si x — — ~— : on conftruira le triangle rec- 

 tangle ABC {Plane. Algèbre, fig. t.) dont le coté 

 A B foit a , B C, b , & l'hypothenufe fera alors 



y^J^bV: faifant AC—m on aura x = ? & 

 par conféquent c : m — m : x. 



8°. Si * = — ^ > fur A B — a {fig. z.) on dé- 

 crira un demi cercle, & l'on prendra AC—b, ce 

 qui donnera B C = \/aa~Tb; faifant donc CB 

 — m , on aura x = ~ , c'eft-à-dire c:m-m:x. 



<f. Si x = —jfjpr, on cherchera & l'on 

 f era / l= I^-+c,cc qui donnera b c + a f = b h , tte. 

 par conféquent x = ^ — . J- rouvant 



alors entre ^ C = c {fig. 3 .)_& C = la mo y en ' 

 ne proportionnelle CD — \/cd & faifant C E — a, 

 on aura Z? £ = v/^+ë~5, q ui étant nommée m , 

 donnera * = ™ : & partant h : m — m : x. 



Il eft à remarquer que les confmiaions que nous 

 venons de donner des trois derniers exemples , ne 

 font que pour plus d'élégance & de {implicite ; car 

 on pourroit les conftruire , & on en a déjà confirait 

 plufieurs autrement ci-deflùs, n°. 3 & 5. 



La conftruclion des équations du fécond degré , 

 lorfque l'inconnue eft délivrée , ne demande pas 

 d'autres règles que celles qu'on vient de donner. 

 Qu'on ait , par exemple , x z = a b, on en tirera 

 x—\fab que l'on confirait en trouvant la moyen- 

 ne proportionnelle D C entre AC = aë>cBC — b. 



Si l'équation a un fécond terme comme xx + ax 



= + hh * T di donne x = — ±a±_\/jaa±bb, 

 toute la difficulté confiftera à conftruire V \ a a + b b 

 ou V^~â~a^Tb. Pour le premier cas on fera com- 

 me dans les confiructions précédentes, {fig. i.)AB 

 — \a &BC=zb, ce qui donnera AC=\/^aa + bb. 

 Dans le fécond on fera {figure 2. ) A C— b & 



A B = 1 a , ce qui donnera CB — V^a 7 - — 



Les équations du troifieme degré peuvent fe 

 conftruire, i°. par l'interfection d'une ligne droite 

 & d'un lieu du troifieme degré. Par exemple , foit 

 x3 + a x^ — b b x + cl = o ; on conftruira le lieu ou 

 la courbe EMB C F{fig. ^.Algebr. ) dont l'équation 

 foit xl -f a x 7 - — b b x + c3 = y, en prenant les va- 

 riables AP pour x & P M pour y; & les points 

 B, C, D, 011 cette courbe rencontrera fon axe , don- 

 neront les racines A B, AC, AD, de l'équation ; 

 car dans ces points y eft = o , puifque y exprime 

 en général la diftance PM de chaque point M de 

 la courbe à fon axe A D : par conféquent on a x3 

 4- a x 7 — b b x -f c3 =z o i°. lorfque x eft = A B : 

 2°. lorfque x — AC: 3 0 . lorfque x — AD. Donc 

 ies valeurs de l'inconnue x , propres à rendre xl 

 ^-axx-bbx + cS—o font AB, AC, A D. Les 

 racines de l'équation feront pofitives ou négatives , 

 félon que les points B, C, D, tomberont d'un côté 

 ou de l'autre par rapport h A, & fi la courbe ne 

 coupoit pas fon axe en trois points , ce feroit une 

 marque qu'il y auroit des racines imaginaires. 



Je rapporte ici cette méthode de conftruire les 

 équations du troifieme degré , parce qu'elle peut 

 s'appliquer généralement aux degrés plus élevés à 

 l'infini, & qu'elle eft peut-être auffi commode & 

 aufîî fimple qu'aucune autre. Ainfi en général l'é- 

 quation x n -f a x n " 1 + b b x n ~ 2 -f- &c. + e 11 — o 

 peut fe conftruire par la courbe dont l'équation 

 feroit x n ^ax"- 1 + b b x n ~ z + &c. + e n ~y , 

 dont les interférions avec fon axe donneront les 



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1 racines de l'équation. Ces fortes de courbes où l'inr 

 déterminée y ne monte qu'à un degré , s'appellent 

 courbes de genre parabolique. Et je dois remarquer ici 

 que M. l'abbé de Gua s'eft fervi avec beaucoup de 

 fagacité de la confidération de ces fortes de cour- 

 bes , pour découvrir & démontrer de fort beaux 

 théorèmes fur les racines des équations. Voye^ Ra- 

 cine ; voye^ aufîi les Mémoires de V Acad, des Scienc* 

 de Paris , de , & Y article COURBE. 



Mais en général la méthode de réfoudre les équa- 

 tions du troifieme & du quatrième degré confifte à 

 y employer deux fedtions coniques , & ces deux 

 fections coniques doivent être les plus fimple s qu'il 

 fe puifte ; c'eft pourquoi on confirait toutes ces équa- 

 tions par le moyen du cercle & de la parabole. Voici 

 une légère idée de cette méthode. Soit propofé de 

 conftruire x3 = bbc : on fupofe d'abord x^—bbex 

 en multipliant le tout par *• ; enfuite on fuppofe xx 

 =2 by, qui eft l'éqUation d'une parabole, & on a par 

 la fubftitution x4 =z b by y — b b c x , icyy—cx^ 

 qui eft l'équation d'une parabole. Ainfi on pourroit 

 refoudre le problême en conftruifant les deux para- 

 boles B A C ^ D A {fig. S.) , qui ont pour équation 

 y y — ex & x x = by ; le point d'interfe£lion C de 

 ces paraboles donnerait la valeur O C de l'incon- 

 nue x. Car l'inconnue x doit être telle que xxzzby 

 & que y y = c : or nommant en général A P , x 9 

 P, Â,y, ou A S, y, S R, x; il n'y a que le feul point 

 C où l'on ait à la fois x x — b y &cyy — ex. Mais 

 comme le cercle eft plus facile à conftruire que la 

 parabole , au lieu d'employer deux paraboles on 

 n'en emploie qu'une ; par exemple , celle qui a 

 pour équation xx = by, & on combine enfemble 

 les deux équations xx'z=byôcyy=cx de ma- 

 nière qu'elles donnent une équation au cercle , ce 

 qui fe fait en ajoutant une de ces équations à l'autre 

 ou en l'en retranchant , comme on le peut voir ex- 

 pliqué plus au long dans l'application de l'Algèbre 

 à la Géométrie de M. Guifnée , & dans le neuviè- 

 me livre des fections coniques de M. le marquis de 

 l'Hôpital. Par exemple , dans le cas dont il s'agit 

 ici , on aura c x — x x = y y — by qui eft une équa- 

 tion au cercle ; & fi on confirait ce cercle , fes points 

 d'interfe&ion avec la parabole qui a pour équation 

 x x — by donneront les racines de l'équation. 



On voit par-là que pour conftruire une équation 

 du troifieme degré , il faut d'abord en la multipliant 

 par x la changer en une du quatrième : on peut en 

 ce cas la regarder comme une équation du quatriè- 

 me degré , dont une des racines feroit = o. Car , 

 foient x = a, x = b , x =: c ,les racines d'une équa- 

 tion du troifieme degré , x3-\-pxx-\~qx -f-r=o,fî 

 on multiplie cette équation par x, on aura x* -f- p xi 

 + q x x -f r x, dont les racines feront x = o , x = a 9 

 x — b, x = c. Aufîi lorfque l'équation eft du troifie- 

 me degré , l'équation au cercle qu'on en déduit n'a 

 point de terme confiant ; d'où il s'enfuit qu'en fai- 

 fant dans cette équation y — 0, x eft aufîi — o ; 

 V. Courbe & Equation; & comme dans l'équa- 

 tion à la parabole x x — by, y — o rend aufti x ==. o , 

 on voit que quand l'équation eft du troifieme degré, 

 le cercle & la parabole fe coupent dans le point qui 

 eft l'origine des x & des y, & c'eft cette interfection 

 qui donne la racine x = oj les trois autres interfec- 

 tions donnent les trois racines. C'eft ainii qu'en Géo- 

 métrie tout s'accorde & fe rapproche. 



Les équations des degrés plus compofés fe conf- 

 truifent de même par l'interfection de courbes plus 

 élevées ; par exemple , un lieu du fixieme degré par 

 l'interfection de deux courbes du troifieme , qu'il 

 faut toujours choifir de manière que leur équation 

 foit la plus fimple qu'il fe puiffe, félon pluiieurs au- 

 teurs : cependant félon d'autres cette règle ne doit 

 pas être fuivie à la rigueur , parce qu'il arrive fou-^ 



