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ces lignes une notion qui foit plus claire à l'efprit 

 que la notion fimpie qu'excite en nous le feul mot 

 de droit & cle courbe. La définition la plus exaâe 

 <ju'on puîffe donner de l'une & de l'autre , eft peut- 

 être celle-ci : La ligne droite eft le chemin le plus 

 court d'un point à un autre , & la ligne courbe eft une 

 ligne menée d'un point à un autre, & qui n'eft pas 

 ia plus courte. Mais la première de ces définitions 

 renferme plutôt une propriété fecondaire que l'ef- 

 fence de la ligne droite ; & la féconde , outre qu'elle 

 ne renferme qu'une propriété négative, convient 

 auffi-bien à un afïeniblage de lignes droites qui font 

 angle, qu'à ce qu'on appelle proprement courbe, & 

 qu'on peut regarder comme l'afTemblage d'une infi- 

 nité de petites lignes droites contigues entr'elles à 

 angles infiniment obtus. Koye^ plus bas Courbe PO- 

 LYGONE ; voyei aufifii Convexe. Peut-être feroit-on 

 mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne 

 droite , par la difficulté & peut-être l'impoffibilité de 

 réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle 

 qu'ils préfenîent d'eux-mêmes. Foye^ Définition. 



Les figures terminées par des lignes courbes font 

 appellées figures curvilignes , pour les diftinguer des 

 figures qui font terminées par des lignes droites , & 

 qu'on appelle figures rectilignes. Voye^ R.ECTTLIGNE 

 & Figure. 



La théorie générale des courbes , des figures qu'el- 

 les terminent , & de leurs propriétés, conftitue pro- 

 prement ce qu'on appelle la haute géométrie ou la géo- 

 métrie tranficendante. Voyc^ GEOMETRIE. 



On donne fur-tout le nom de géométrie tranficen- 

 dante à celle qui , dans l'examen des propriétés des 

 -courbes , employé le calcul différentiel éc intégral. 

 Voye^ ces mots ; voye^ aufifi la fiuite de cet article. 



Il ne s'agit point ici , comme on peut bien le croire, 

 des lignes courbes que l'on peut tracer au hafard & 

 irrégulièrement fur un papier. Ces lignes n'ayant 

 d'autre loi que la main qui les forme , ne peuvent 

 être l'objet de la Géométrie ; elles peuvent l'être 

 feulement de l'art d'écrire. Un géomètre moderne a 

 pourtant crû que l'on pouvoit toujours déterminer 

 la nature d'une courbe tracée fur le papier ; mais il 

 s'eft trompé en cela. Nous en donnerons plus bas la 

 preuve. 



Nous ne parlerons d'abord ici que des courbes tra- 

 cées fur un plan , & qu'on appelle courbes à Jïmple 

 courbure. On verra dans la fuite la raifon de cette dé- 

 nomination. Pour déterminer la nature d'une courbe , 

 on imagine une ligne droite tirée dans fon plan à 

 volonté. Par tous les points de cette ligne droite , 

 on imagine des lignes tirées parallèlement & termi- 

 nées à la courbe. La relation qu'il y a entre chacune 

 de ces lignes parallèles , & la ligne correfpondante 

 de l'extrémité de laquelle elle part, étant exprimée 

 par une équation, cette équation s'appelle Y équation 

 de la courbe. Voye^ EQUATION. 



Dans une courbe, la ligne A D (Pl. de Géométr.fig. 

 Si.) qui divife en deux également les lignes parallèles 

 M M, eft ordinairement appellée diamètre. Si le dia- 

 mètre coupe ces lignes à angles droits , il eft appellé 

 axe ; & le point A par où l'axe pafTe eft appellé le 

 fiommet de la courbe. V ry.DlAMETRE y Axe , & SOM- 

 MET. 



Les lignes parallèles M M font appellées ordon- 

 nées ou appliquées ; & leurs moitiés P M, demi- or- 

 données on ordonnées. Voye^ Ordonnée. 



La portion du diamètre A P , comprife entre le 

 fommet ou un autre point fixe , & l'ordonnée eft 

 appeiiée abficififie. Voye^ ABSCISSE. Le point de con- 

 cours des diamètres fe nomme centre. V . Centre ; 

 •voyei aufifii les remarques que fait fur ce fujet M. l'abbé 

 de Gua dans la première fedïon de fon ouvrage in- 

 titulé , Uj'ages de Vanalyfie de Deficartes. Il appelle plus 

 proprement centre d'une courbe un point de fon pian , 



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tel que fi on mené par ce point une ligne droite quel- 

 conque terminée à la courbe par fes deux extrémités, 

 ce point divife la ligne droite en deux parties égales. 



Au refte ,on donne aujourd'hui en général le nom 

 iïaxe à toute ligne tracée dans le plan de la courbe 

 & à laquelle fe rapporte l'équation ; on appelle F axe, 

 des x, Ou Amplement axe, la ligne fur laquelle fe 

 prennent les abfciffes; axe des y, la ligne parallèle aux 

 ordonnées , & parlant par le point où xeû = o. Ce 

 point eft nommé Y origine des coordonnées ou l'origine 

 de la courbe. Voye^ COORDONNÉES. 



Defcartes eft le premier qui ait penfé à exprimer 

 les lignes courbes par des équations. Cette idée fur 

 laquelle eft fondée l'application de l'Algèbre à la 

 Géométrie (voye^ Application & Découverte) 

 eft très-heureufe & très-féconde. 



Il eft vifible que l'équation d'une courbe étant ré- 

 foltie , donne une ou plufieurs valeurs de l'ordonnée 

 y pour une même abfciffe x> & que par conféquent 

 une courbe tracée n'eft autre chofe que la folution 

 géométrique d'un problème indéterminé , c'eft-à-dire 

 qui a une infinité de foluîions : c'eft ce que les an- 

 ciens appelloient lieu géométrique. Car quoiqu'ils 

 n'euftènt pas l'idée d'exprimer les courbes par des 

 équations , ils avoient vu pourtant que les courbes 

 géométriques n'étoient autre chofe que le lieu , c'eft- 

 à-dire la fuite d'une infinité de points qui fatisfai- 

 foient à la même queftion ; par exemple , que le cer- 

 cle étoit le lieu de tous les points qui défignent les 

 fommets des angles droits qu'on peut former fur 

 une même bafe donnée , laquelle bafe eft le diamè- 

 tre du cercle ; & ainfi des autres. 



Les courbes fe divifent en algébriques , qu'on ap- 

 pelle fouvent avec Defcartes courbes géométriques ^ 

 & en tranfeendantes , que le même Defcartes nom- 

 me méchaniques. 



Les courbes algébriques ou géométriques font celles 

 où la relation des abfciffes A P aux ordonnées P M 

 {fig. 3 z. ) eft ou peut être exprimée par une équation 

 algébrique. Voye^ Equation & Algébrique. 



Suppofons , par exemple , que dans un cercle on 

 ait A B — a, A P — x,PM=y; on aura P B = 

 a — x : par conféquent , puifque PM* = APxPB, 

 on aura y y — a x — x x $ ou bien fi on fuppofe 

 PC—x,AC~a,P M=y, onauraM C 2 - P 0= 

 P Af 2 , c'eft-à-dire a 2 — x 2 =y 



Il eft vifible par cet exemple , qu'une même courbe 

 peut être repréfentée par différentes équations. Ainfi 

 fans changer les axes dans l'équation précédente , û 

 on prend l'origine des x au fommet du cercle , au, 

 lieu de les prendre au centre , on trouve, comme on 

 vient de le voir , y y = a x — x x pour l'équation. 



Plufieurs auteurs, après Defcartes , n'admettent 

 que les courbes géométriques dans la conftru£tion des 

 problèmes , & par conféquent dans la Géométrie ; 

 mais M. Newton, & après lui, MM. Leibnitz Se 

 Wolf font d'un autre fentiment , & prétendent avec 

 raifon que dans la conftruâion d'un problème, ce 

 n'eft point la fimplicité de l'équation d'une courbe qui 

 doit la faire préférer à un autre , mais la fimplicité 

 & la facilité de la conftru&ion de cette courbe. Voye^ 

 Construction, Problème, & Géométrique. 



Courbe tranfeendante ou méchanique eft celle qui 

 ne peut être déterminée par une équation algébri- 

 que. /^^Transcendant. 



Defcartes exclud ces courbes de la. Géométrie ; 

 mais Newton & Leibnitz font d'un avis contraire 

 pour la raifon que nous venons de dire. En effet une 

 ipirale , par exemple , quoique courbe méchanique , 

 eft plus aifée à décrire qu'une parabole cubique. 



L'équation. d'une courbe méchanique ne peut être 

 exprimée que par une équation différentielle entre 

 les d y & les d x. Voye^ Différentiel. Entre ces 

 deux genres de courbes, on peut placer, ï° les courbes 



