cou 



exponentielles dans î'équatiôn defquelîes une des 

 inconnues , ou toutes les deux entrent en expofant., 

 comme une courbe dont l'équation feroit y = a *> 

 ou. y * ~ay &c. /^^Exponentiel. z°les cour* 

 bes interfcendantes dans l'équation defquelîes les ex- 

 pofans font des radicaux, comme x = y \f% Ces 

 deux efpeces de courbes ne font proprement ni géo- 

 métriques ni méchaniques „ parce que leur équation 

 eft finie fans être algébrique» 



Une courbé : algébrique eft infinie, lorfqu'elle s'é- 

 tend à l'infini , comme la parabole & l'hyperbole ; 

 finie , quand elle fait des retours fur elle-même com- 

 me l'ellipfe ; & mixte > quand une de fes parties eu 

 infinie , & que d'autres retournent fur elles-mêmes. 



Pour fe former l'idée d'une courbe par le moyen 

 -de fon équation , il faut imaginer que l'équation de 

 la courbe mit t éfolue , c*eft-à-dire qu'on ait la valeur 

 de y en x, Cela pofé , on prend toutes les valeurs po- 

 fitives de x depuis o jufqu'à l'infini , & toutes les va- 

 leurs négatives depuis o jufqu'à — l'infini. Les ordon- 

 nées correfpondantes donneront tous les points de 

 la courbe , les ordonnées pofitives étant prifes toutes 

 du même fens , & les négatives du côté oppofé. Voi- 

 là ce qu'on trouve dans tous les Algébriftes & géo- 

 mètres modernes. Mais aucun n'a donné la raifon de 

 cette règle. Nous la donnerons dans la fuite de cet 

 article , après avoir parlé auparavant de la trans- 

 formation des axés d'une courbe. 



Il eft certain qu'après avoir rapporté l'équation 

 d'une courbe à deux axes quelconques d'abfcifies & 

 d'ordonnées , on peut la rapporter à deux autres axes 

 quelconques tirés , comme on voudra , dans le plan 

 de la courbé. De ces deux axes , l'un peut être paral- 

 lèle ou coïncident à l'axe des x, & l'autre parallèle 

 ou coïncident à l'axe des y; ils peuvent auffi n'être 

 point parallèles ni l'un ni l'autre aux deux premiers 

 axes , mais faire avec eux des angles quelconques. 

 Suppofons , par exemple , que A P(x) tk P M (y) 

 foient (Pl. d'Algeb.fîg. iy.) les abfchTes & les or- 

 données d'une courbe , & qu'on veuille rapporter la 

 courbe aux nouvelles coordonnées quelconques A p 

 & p M; on tirera AB&tB q parallèles à y & à x , 

 & on nommera les coordonnées nouvelles A p (^) 

 &pM (u). Cela pofé, il eft vhlble que l'angle ap M 

 eft donné , comme on le fuppofe , ainfi que l'angle 

 p B q, & l'angle B q mou fon égal A m M , & que 

 a B 6c A B font auffi donnés de grandeur & de po- 

 fition. Donc 11 on nomme aB , a 9 &cA B ,b, on 

 aura B p =z £ — a , B q ou A ' m =z — d) m , m ex- 

 primant le rapport connu de B q à. B p ; P m=-y n , 

 n étant de même un coefficient donné , & par con- 

 féquent A P ou x—(^ — à) m +y n : de plus M m 

 = p M — p m — p M — A B — p q-^ u — b — £ q 

 a q > q étant de même un coefficient donné , &cMP 

 ouy =z(u~-b*~iq-\-aq)xk: donc on auraj = 

 (u-b~iq + aq) a) m + nk(u — 



b — q)i donc fi on met à la place de * & de 



y leurs valeurs qu'on vient de trouver en{&ena, 

 on aura une nouvelle équation par rapport aux co- 

 ordonnées i&c u. Voyez à Tare. Transformation 

 DES AXES un plus grand détail. 



Il eft vifible qu'on peut placer non-feulement l'axe 

 des i & l'axe des u , mais auffi l'axe des x & celui des 

 y , par-tout où l'on voudra , fans que la courbe chan- 

 ge pour cela de place , & que la pofition de la courbe 

 eft totalement indépendante de la pofition des axes ; 

 de forte que les ordonnées u partant de l'axe des {, 

 doivent aboutir aux mêmes points que les ordon- 

 nées y, partant de l'axe des x. Cela eft évident par 

 les opérations même que l'on fait pour la transfor- 

 mation des axes. D'ailleurs on doit confidérer qu'u- 

 ne courbe n'eft autre çhofe que le lieu d'une infinité 

 de points qui fervent à réfoudre un problème indé- 

 terminé, c'eft-à-dire un problème qui a une infinité 

 Tome IV+ 



COU 579 



<k folittroïJS. Or la ûtimten de ces points eft totale- 

 ment indépendante dé la pofition dés axes auxquels 

 on les rapporte, ces axes pouvant être placés par- 

 tout oui 'on voudra. De ces principes, oh peut ti- 

 rer les conséquentes fuivantes fur la pofition des 

 ordonnées» 



. i°. Les ordonnées 'pofitives doivent, être prifes 

 d'un même côté; car foit (fig. n° t ^. analyf.) 



l'axe des*, & qu'on trouve deux valeurs po- 

 fitives pourjK; foit Pmte plus grande de ces va- 

 leurs , je dis que la plus petite P M doit être prife 

 du même côté. Car foit tranfpofé l'axé APehap, 

 en forte que Pp=za, &cfoitap=:x 9 &pm = i> 

 on aura l'équation rapportée aux axes x & i > eit 

 mettant i - a pour y dans l'équation de la courbe -; 8& 

 on aura chaque valeur de i égale aux valeurs corref- 

 pondantes de j, augmentées chacune de à; donc au 

 point/; , on aura deux valeurs pofitives de { -, fàVoir 

 * -h ^ M & a + P m. Or û on ne prenoit pas P M 

 du même côté que P m , mais de l'autre côté, l'or* 

 donnée/; M, au lieu d'être a 4* P M, feroit a -* 

 P M; la courbe changeroit donc ou d'équation ou d<* 

 figuré , en changeant d'aXe ; & tandis qu'une de fes 

 parties refteroit à la même place , l'autre fe prome- 

 neroit, pour ainfi dire , fuivant que l'on changeroit 

 l'axe de place. Or ni l'un ni l'autre ne fe peut. Donc 

 il faut que PM&P m foient pris du même côté , 

 quand ils font tous deux pofitifs, 



2°. Si On a deux valeurs , l'une pofitive P M$ 

 l'autre négative P m (fig. 3 &. n°. x.) , il faudra les 

 prendre de_différens côtés. Car foit , par exemple , 

 P M = y/ Xy & P m = - y/ x : tranfpofant l'axe 

 A P en ap, enforte que p P = a } & mettant 1 — <z 

 pourjK , dans l'équation de la courbe , on aura (saf 

 V x = )/x. Si on fuppofe \/x < a , ce qui fe 

 peut toujours , puifque a eft arbitraire , on trou- 

 vera { ou p M = a 4- P M & 1 Ou p m = a - P M. 

 Donc P m doit être égale à P M } & prife dans un 

 fens contraire. Tout cela eft aile à voir avec un peu 

 d'attention* 



Lorfqtie lés ordonnées font pofitives , elîes appar- 

 tiennent toutes également à la courbe, ce qui eft évi- 

 dent , puifqu'il n'y a pas de raifon pour préférer l'u- 

 ne à l'autre. Mais lorfqu'elles font négatives , elles 

 n'appartiennent pas moins à la courbé ; car , pour 

 s*en convaincre , il n'y a qu'à reculer l'axe de façon 

 que toutes les ordonnées deviennent pofitives. Dans 

 cette dernière pofition de l'axe , toutes les ordonnées 

 appartiendront également à la courbe. Donc il en fera 

 de même dans la première pofition que l'axe avoiu 



Donc fuppofant x pofitive , toutes les valeurs de 

 y tant pofitives que négatives , appartiennent à la 

 courbe; mais au lieu de prendre la ligne des x pou? 

 l'axe, on peut prendre la ligne des y, & alors on 

 aura des valeurs tant pofitives que négatives de x, 

 lefquelles par la même raifon appartiendront auffi à 

 la courbe. Donc la courbe renferme toutes les valeurs 

 des y répondantes à une même & toutes les va- 

 leurs de x répondantes à une même y ; ou ce qui re- 

 vient au même , elle renferme toutes les valeurs po* 

 fitives & négatives de y répondantes , foit aux x po- 

 fitives , foit aux x négatives. En effet , fi dans la va- 

 leur de y qui répond aux x pofitives, on change les 

 fignes des termes où x fe trouve avec une dimen- 

 fion impaire, on aura la valeur de^ correfpondante 

 aux* négatives ; & cette équation fera évidemment 

 la même qu'on auroit, en réfolvant l'équation en x 

 & en y, après avoir changé d'abord dans cette équa- 

 tion les fignes des termes où x fe trouve avec une 

 dimenfion impaire. Or je dis que cette dernière 

 équation appartient également à la courbe ; car or* 

 donnons l'équation primitive par rapport à x, avant 

 d'avoir changé aucun ligne > & cherchons les va- 



