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leurs de x en y ; nous venons de voir que les va- 

 leurs , tant pofitives que négatives de x s appartien- 

 nent à la courbe. Or les valeurs négatives font les 

 mêmes que l'on aurait avec un figne pofitif , en 

 changeant dans l'équation primitive les lignes des 

 termes où x fe trouve avec une dimenfion impaire ; 

 car on fait que dans une équation ordonnée en x , j 

 Si on change les fignes des termes où x fe trouve avec 

 une dimenfion impaire , toutes les racines changent ; 

 de figne fans changer d'ailleurs de valeur. V oye{ 

 Equation. Donc l'équation en x, avec le chan- . 

 gement des fignes indiqué , appartient auffî-bien à la 

 tourbe que l'équation en x, fans changer aucun fi- : 

 gne. Donc, &c. Il eft donc important de changer 

 les fignes de x, s'il efl néceffaire , pour avoir la | 

 partie, de la courbe qui s'étend du côté des x néga- 

 tives. En effet lbit, par exemple 9 yy = a a — x x 

 l'équation du cercle , on aura , en prenant x politi- ; 

 ve 9 yz= + \/aa-~xx; & en faifant x négative , | 

 t>n aura de même y ~ + \/ a a — x x : ce qui donne 



le cercle entier. Si on prenoit feulement x pofitive, 

 on n'aurdit que le demi-cercle ; & li on ne prenoit : 

 y que politive , on n'aurait que le quart du cercle. 



Voilà donc une démonftration générale de ce que 

 tous les Géomètres n'ont fuppofé jufqu'à préfent que < 

 par indutrion. En effet ils ont vu, par exemple, que 

 fi y zz a — x , c'eft l'équation d'une ligne droite qui 

 coupe fon axe au point oh. x zz a, 6c qui enfuite 

 palTe de l'autre côté. Or quand x > a, on a y néga- 

 tive ; ainfi , ont-ils dit , l'ordonnée négative doit être 

 prife du côté oppofé à la politive. Ils ont vu encore 

 ■que y — -f j/ px tû. l'équation de la parabole , &: que 

 cette courbe a en effet deux parties égales & fem- 

 i>labies , l'une à droite & l'autre à gauche de fon 

 axe , ce qui prouve que — Vp x doit être prife du 

 côté oppofé à \/ p x. Plufieurs autres exemples pris 

 du cercle , des feclions coniques rapportées à tel 

 axe qu'on jugera à propos , ont prouvé la règle de 

 la pofition des ordonnées & la néceffité de prendre 

 x négative , après l'avoir pris pofitive. On s'en eft 

 tenu là : mais ce n'étoit pas une démonftration ri- 

 igoureufe. 



Les différentes valeurs de y répondantes à x pofi- 

 tive & à x négative , donnent les différentes bran- 

 ches de la courbe. Voye^ BRANCHE. 



Lorfqu'on a ordonné l'équation d'une courbe par 

 rapport à y ou à x , s'il ne fe trouve point dans l'é- 

 quation de terme confiant , la courbe parle par l'ori- 

 gine ; car en faifant x zz o , & y zz o dans l'équation , 

 tout s'évanouit. Donc la fuppofition de yzz o quand 

 x zz o? efl légitime. Donc la céyrke paffe par le point 

 où x zz o. 



En général , li on ordonne l'équation d'une courbe 

 par rapport à y, enforte que le dernier terme ne con- 

 tienne que x avec des confiantes , & qu'on cherche 

 les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme 

 égal à zéro , ces valeurs de x donneront les points 

 où la courbe coupera fon axe ; car puifque ces valeurs 

 de x fubflituées dans le dernier terme le rendront 

 ■zzw , on prouvera par le même raifonnement que ci- 

 déffus , que dans les points qui répondent à ces va- 

 leurs de x , on a y = o. 



Lorfque la valeur de l 'ordonnée y eft imaginaire, 

 la courbe manque dans ces endroits-là ; par exemple, 



lorfque x > a dans l'équation y — ±_ V a a—xx, la 

 valeur d'y efl imaginaire: aufîi le cercle n'exifte point 

 dans les endroits où x > a $ de même li dans l'équa- 

 tion y ~ + Vp x ? olî feit x négative , on trouvera 

 y imaginaire, ce qui prouve que la parabole ne parle 

 point du côté des x négatives. 



On verra aux articles Equation&Imagi- 



COU 



Nàïre que toute quantité imaginaire ou racine ima- 

 ginaire d'une équation peut fe réduire à AfB 

 ASiB étant des quantités réelles, & que toute équa- 

 tion qui a pourracine A + B \/-ï \ a . pour racine 

 aulîi A-~B v/~i. Or quand une ordonnée paffe du 

 réel à l'imaginaire , cela- vient de ce qu'une quantité 

 comme C,. qui étoit fous un figne radical V£, de- 

 vient négative , en forte que Czz B , B étant 

 •une quantité réelle. Or pour que C .'devienne néga- 

 tive, de pofitive qu'elle étoit^ il faut qu'elle paife 

 par le zéro 4 ou par l'infini. Voyei Maximum. Donc 

 au point où l'ordonnée paffe à l'imaginaire on a5 

 nul ou infini ; donc les racines A -j- Ê \/^ï & A 



— B deviennent égales en ce .point-rlà. Donc 

 la limite qui fëpare les ordonnées réelles des ordon- 

 nées imaginaires , renferme deux ou plufieurs or- 

 données égales , lesquelles feront ='.o , ou finies ou 

 infinies ; égales à zéro', fi .À zzo,, &tfi B efl zéro ; 

 finies -, ÛA eft "rime , Si B zerp ; infinies fi A eft 

 infinie &c B zéro , ou il A efl finie. ScB infinie , ou 

 fi A & B font infinies l'une & l'autre. 



Par exempl e , li xzz a, & que l'équation foit y 

 zz a ~ x + \/a — • x , on a; y sfe o ; û l'équation eft 



y = a + Va — x 5 y fera = a ; fi l'équation eft y = 

 a ± -—^-~z- 9 ou yzz — — + \/a — x., y fera 



infinie ; & fi dans tous ces cas on 'prend x > a 9 la 

 valeur de y fera imaginaire. 



Quand on a l'équation d'une courbe , il faut exa- 

 miner d'abord fi cette équation ne peut pas fe divi- 

 lêr en plufieurs équations rationnelles. ; car fi cela 

 efl , l'équation fe rapporte, non à une feule & même 

 courbe y mais à des courbes différentes. On en peut 

 voir un exemple à L'article Hyperboles conju- 

 guées au mot Conjugué. Nous ajouterons ici , 

 i°. qu'il faut, pour ne point fe tromper là-deffus, 

 mettre d'abord tous les termes de l'équation d'un 

 côté, & zéro de l'autre, & voir enfuite fi l'équation 

 eft réductible en d'autres équations rationnelles ; car 

 loit, par exemple, yyzzaa~~xx, on feroit tenté 

 de croire d'abord que l'équation peut fe changer en 

 ces deux-cij zza — xtkyzza + x, dont le produit 

 donne y y — aa—xx; ainfi on pourroit croire que 

 l'équation yyzz'aa — x x qui appartient réellement 

 au cercle , appartiendrait au fyftème de deux lignes 

 droites , y zz a -f x Si y zz a — x. Or on fe trompe- 

 rofî en cela ; mais pour connoître fon erreur , il n'y 

 a qu'à faire y y — aa-\-x x zzo , & l'on verra alors 

 facilement que cette équation n'eft pas le produit 

 des deux équations y— a-\-xzzo Se y — a — xzzo * 

 en effet , on fént afîez que j'y ~a a—xx ne donne 

 m y zz a — x, niyzza-^-x ; mais fi on avoit l'équa- 

 tion y y — iay-{-aa—xx=zo, on trouveroit que 

 cette équation viendrait des deux y —a — xzzo & 

 y — a-\'-xzzQ t & qu'ainfi elle repréfenteroit non 

 une courbe, mais un fyftème de deux lignes droites. 



2°. Les équations dans lefquelles l'équation appa- 

 rente d'une courbe fe aïvife, n'en feraient pas moins 

 rationnelles quand elles renfermeraient des radi- 

 caux, pourvu que la variable x ne fe trouvât pas 

 fous ces radicaux ; par exemple , une équation qui 



ferait formée de ces deux-cijj — Va a -f bb—xzzo 



& y-Vaa b b -{- x zz o, repréfenteroit toujours 

 le fyftème de deux lignes droites. Il faut feulement 

 remarquer que l'équation y y — iy }/aa-{-bb -f- a a. 

 ~\-b b — xx — o qui réfulte de ces deux-là , fe chan- 

 ge, en faifant évanouir tout- à-fait le figne radical, 

 en celle-ci Çyy-^-aa-^bb—xx^) 2 ~4yy (aa-\-bb\ 

 = o , qui eft du quatrième degré , & qui renferme 

 le fyftènjç de 4 lignes droites y — y/a a—bb-~ X zzo, 



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