cou 



y — V a a — bb-\-x=zQ 9 y»{» V-aa -\-bb — AfSSOj 



y -f- Va a-\~ b b-\- x~o . 



3°. Les équations font encore rationnelles quand 

 même x fe trouverait fous le figne radical , pourvu 

 qu'on puiffe l'en dégager : par exemple , y 



y/a a x x 4* b b xx =î o &Cy — • \Zddx 7 - x z =z o (e 



changent enjK m +x V aa 4- ^? & y = 4- * +" w > 

 qui efl le fyflèmé* des quatre lignes droites , où l'on 

 voit que' les deux équations radicales en ont fourni 

 chacune deux autres , parce que la racine de xx efl 

 également 4- x & — x. Je m'étends fur ces différens 

 objets, parce qu'ils ne font point traités ailleurs, 

 ou qu'ils le font trop fuccinâement, ou qu'ils le font 

 mal. 



Ceci nous conduit à parler d\me autre manière 

 d'envifager l'équation des courbes , c'efl: de détermi- 

 ner une courbe par l'équation, non entre x mais 

 entre les y qui répondent à une même abfciffe. 



ExempU. On demande une courbe, dans laquelle la 

 fomme de deux ordonnées correfpondantes à une 

 même x foit toûjours égale à une quantité conf- 

 iante 2 a j je dis que l'équation de cette courbe fera 

 y t=z a 4- \/'X y X défignant une quantité radicale 



quelconque, compofée de x & de confiantes. En 

 effet , les deux ordonnées y = a. 4- \/X & yz-a 

 — y/ -XT ajoutées enfemble,donnent une fomme tst ia; 

 mais il faut bien remarquer que y/ X doit être une 

 quantité irrationnelle ; car , par exemple , y = a 



4- jr&Cy^^'— -j^m fatisferoient pas au pro- 

 blème , parce que ces deux équations ne défigne*- 

 roient pas le fyflème d'une feule & même courbe. 

 De même fi on demande une courbe > dans laquelle 

 le produit des deux ordonnées correfpondantes à x 

 foit une. quantité Q , qui contienne x avec des conf- 

 iantes ,■ ou qui foit une confiante 9 on fera y = P 



th V P P — Q , P étant une quantité quelconque 

 qui contienne x avec des confiantes, ou qui foit 

 confiante ; car le produit des deux valeurs P 4~ 



V P P— Q & P — Vp P — Q donnera Q. Voyez 

 fur tout cela les journaux de Leipfic de 1697, les 

 mémoires de l'acad. des Sciences de 1734 , & Vintro- 

 duclio ad analyfim injinitorum , par M. Euler, c. xjv. 

 Cours d'une courbe. Pour déterminer le cours d'une 

 tourbe, on doit d'abord réfoudre l'équation de cette 

 courbe , & trouver la valeur de y en x ; enfuite on 

 prend différentes valeurs de x , & on cherche les 

 valeurs dey correfpondantes ; on voit par-là les en- 

 droits où la courbe coupe fon axe , favoir les points 

 où la valeur de y = 0 ; les endroits où la courbe a 

 une afymptote , c'efl-à-dire , les points où y efl in- 

 finie , x refiant finie , ou bien où y efl infinie , & a 

 Un rapport fini avec x fuppofée aufîi infinie ; les 

 points où y efl imaginaire , & où par conféquent la 

 courbe ne palfe pas, &c. Enfuite on fait les mêmes 

 opérations , en prenant x négative. Par exemple, 

 foit (V — ■~~r^ = xx-\-aa l'équation d'une cour- 

 be , on aura donc y = i Vx x + aa. Ce qui 

 fait voir , i°. que chaque valeur de x donne deux 

 valeurs dey f à caufe du double figne -f ; 2 0 . que 

 û x = o 9 on a j = £ + # , c'efl-à-dire y — o 8c y 

 = 2 a ; 3 0 . que fi x =za , y sa à l'infini , & que par 

 conféquent la courbe a une afymptote au point où 

 x—a; 4 0 . que û x~k l'infini, on a y= ±_x; ce 

 qui prouve que la courbe a des afymptotes qui font 

 avec fon axe un angle de 4 5 degrés ; en faifant x 



négative, on trouve y =s Vxx °\-aa y équa- 



tion fur laquelle on fera des raifonnemens fembla- 

 tles. Il en eft de même des autres cas. Si l'équation 



O U L 



avoit \/xx — a a, On trôuveroit qu'au point oïl 

 x — o, l'ordonnée devient imaginaire , &c<, 



On peut tracer à peu-près une courbe par plm 

 fieurs points , en prenant plufieurs valeurs de x affez 

 près l'une de l'autre, & cherchant les valeurs de y- m 

 Ces méthodes de décrire une courbé par plufiéurs 

 points font plus commodes & en un ferts plus exac- 

 tes que Celles de les décrire par un mouvement con- 

 tinu. Voyt^ Compas elliptique. 



Les anciens n'ont guère connu d'autres càurbel 

 que le cercle , les feclions coniques , la conchoïde „ 

 & la ciffoïde. Voye^ ces mots. La raifon en efl toute 

 fimple, c'efl qu'on ne peut guère traiter des courbes- 

 & n s le fecours de l'Algèbre , & que l'Algèbre paroit 

 avoir été peu connue des anciens. Depuis ce tems on 

 y a ajouté les paraboles & hyperboles Cubiques > ô£ 

 le trident ou parabole de Defcartes ; voilà où on 

 en efl relié , jufqu'au Traité des lignes du troifieme 

 ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas* 

 Foyei Parabole, Hyperbole , Trident , &c. 



Nous avons dit ci-deffus que les courbes méchani- 

 ques font celles dont l'équation entre les coordon- 

 nées n'efl & ne peut-être algébrique, c'efl-à-dire finie. 

 Nous difons ne peut-être ; car fi l'équation différent 

 tielle d'une courbe avoit une intégrale finie , cette 

 courbe qui paroîtroit d'abord méchanique, feroit réel- 

 lement géométrique. Par exemple , fi dy s= — ix ^ 



la cour be efl géométrique i parce que l'intégrale efl 

 y = ]/zax 4- A ; ce qui repréfente une parabole* 



Mais l'équation dy s= ., .„ a ^__ efl l'équation d'une 



% a x x x 



courbe méchanique , parce que l'on ne fçauroit trou- 

 ver l'intégrale de cette équation différentielle. Fbye£ 

 Différentiel, Intégral & Quadrature. 



Les anciens ont fait très-peu d'ufage des courbes 

 méchaniques ; nous ne leur en connoiffons guère 

 que deux, la fpirale d'Archimede &la quadratrice 

 de Dinollrate. Foye^ ces mots. Ils fe fervoient de Ces 

 courbes pour parvenir d'une manière plus aifée à la 

 quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à 

 l'infini le nombre des courbes méchaniques ; le cal- 

 cul différentiel a facilité extrêmement cette multi- 

 plication, & les avantages qu'on pouvoit en tirer. V m 

 Méchanique. Revenons aux courbes algébriques 

 ou géométriques , qui font celles dont il fera prin- 

 cipalement mention dans cet article -, parce que le 

 caratlere de leurs équations qui confiile à être ex- 

 primées en termes finis , nous met à portée d'établir 

 fur ces courbes des propofitions générales , qui n'ont 

 pas lieu dans les courbes méchaniques. C'efl princi- 

 palement la Géométrie des courbes méchaniques, 

 qu'on appelle Géométrie tranfcendante * parce qu'elle 

 employé néceffairement le calcul infinitéfimal; au 

 lieu que la Géométrie des courbes algébriques n'em- 

 ployé point, du moins néceffairement, ce calcul pour 

 la découverte des propriétés de ces courbes , û on 

 en excepte leurs rectifications & leurs quadratures ; 

 car on peut déterminer , par exemple , leurs tangen- 

 tes , leurs afymptotes , leurs branches, &c. & toutes 

 les autres propriétés de cette efpece par le fecours 

 dufeui calcul algébrique ordinaire. Voyelles ouvra- 

 ges de MM. Euler & de Gua , déjà cités , & l'ou- 

 vrage de M. Cramer, qui a pour titre introduction à 

 Vanalyft des lignes courbes, Genev. ij5q. in-4 0 » 



Nous avons vu ci-deffus comment on transforme 

 les axes x 8cy d'une courbe par les équations x — Ar 

 + Bu + C,y = Di+£u + F; c'efl-là la trans- 

 formation la plus générak , & fi on veut faire des 

 transformations plus fimples , on n'a qu'à fuppofer 

 un des coefficiens^ , B, C,D , &c. ou plufieurs 

 égaux à zéro , pourvu qu'on ne fuppofe pas , par 

 exemple » 4M^ enfemble égaux à zéro, ni D & Ë 



