©nfemble égaux à zéro, car on aurait & 

 ■jf'ss.'F£ ce qui ne fe peut , puifque x & y qui font 

 desmdéterminées,ne peuvent être égales à des conf- 

 iantes. On ne doit point non pîusfuppofer en même 

 ■tems B SlÈzz o , ni A & D == o ; car fubftituant les 

 valeurs de * & de y, on n'auroit plus dans l'équa- 

 tion de la courbe qu'une feule indéterminée u. Or il 

 faut qtfrl y en ait toujours deux. 

 Il eft vifible que fi on fubftiîue à la place de 'x 

 de y les valeurs ci-deffus dans l'équation de ia 

 ■tourbe , l'équation n'augmentera pas de dimenfion ; 

 car on détermine la dimenfion &le degré de l'équa- 

 tion d'une courbe par la plus haute dimenfion à la- 

 quelle fe trouve l'une ou Pautre des inconnues x,y, 

 cm le produit des inconnues ; par exemple , l'équa- 

 tion d'une courbe eft du troifieme degré , lorfqu'elle 

 contient le cube y 3, ou le cube xi, ou le produit 

 xyy ou xxy , ou toutes ces quantités à la fois , 

 ou quelques-unes feulement. Or comme dans les 

 équations x=zA ^ B u -f C , y =zD £ + E u-\- F \ 

 £ & -u ne montent qu'au premier degré , il eft évi- 

 dent que fi on fubftitue ces valeurs dans l'équation 

 en x i& en y , la dimenfion de l'équation & l'on de- 

 gré n'augmentera pas. Il eft évident , par la même 

 raifon , qu'elle ne diminuera pas ; car fi elle dimi- 

 nuoit, c'eft-à-dire , fi l'équation en i & en u étoient 

 «3e moindre dimenfion que l'équation en x & en y , 

 alors fubftituant pour \ & pour u leurs valeurs en x 

 & en y, lefquelles font d'une feule dimenfion , com- 

 me il eft aifé de le voir, on retrouverait l'équation en 

 x 61 en y, & par conféquent on parviendrait à une 

 équation d'une dimenfion plus élevée que l'équation 

 enç & en u.; ce qui eft contre la première propofi- 

 -tion. 



Donc en général , quelque transformation d'axe 

 que l'onfafle, l'équation de la courbe ne change point 

 de dimenfion. On peut voir dans l'ouvrage de M. 

 l'abbé de Gua , & dans l'introduction à l'analyfe des 

 lignes courbes par M, Cramer, les manières abrégées 

 de faire le calcul pour îa transformation des axes. 

 Mais ce n'eft pas de quoi il s'agit ici , cette abré- 

 viation de calcul étant indifférente en elle-même aux 

 propriétés de la courbe, Vqye^ aujji TRANSFORMA- 

 TION des axes. 



Courbes algébriques du même genre ou du même 

 ordre., ou du même degré, font celles dont l'équation 

 monte à la même dimenfion. F. Ordre & Degré. 



Les courbes géométriques étant une fois détermi- 

 nées par la relation des ordonnées aux abfcifies , on 

 les diftingue en différens genres ou ordres ; ainfi les 

 lignes droites font les lignes du premier ordre; les 

 lignes du fécond ordre font les fetlions coniques. 



îl faut obferver qu'une courbe du premier genre eft 

 la même qu'une ligne du fécond ordre , parce que 

 les lignes droites -ne font point comptées parmi les 

 courbes , & qu'une ligne du troifieme ordre eft la 

 xnême chofe qu'une courbe du fécond genre. Les cour- 

 tes du premier genre font donc celles dont l'équation 

 monte à deux dimenfiohs; dans celles du fécond 

 genre , l'équation monte à trois dimenfions ; à qua- 

 tre, dans celles du troifieme genre , 6-c. 



..Par exemple , l'équation d'un cercle eûy 2 ~iax 

 -■— x x ou y 1 = a 1 —x} ; le cercle eft donc une courbe 

 du premier .genre & une ligne du fécond ordre. 



De même la courberont l'équation eft a x —y x , 

 ^cft une courbe du premier genre ; & celle qui a pour 

 iquation a* x =y3 , eft courbe du fécond genre & 

 liane du troifieme ordre. 



^Sur les différentes courbes du, premier genre & leurs 

 propriétés , voyei Sections coniques aumot'Co- 



On a vu à cet article C o n i Q u e , quelle eft 

 l'équation la plus générale des lignes du fécond or- 

 dre , &: on trouve que cette éguatiçn a 3t^i 



termes ; on trouvera de même que V équation ht 

 plus générale dès lignes du troifieme ordre eft yî 4- 

 axy*-±. bxxy+cx* +ey' L +fxy + gxx + hx 

 + 1 J / v +/ = o , &: qu'elle a 4 -j- 3 -j- 2 -f 1 termes , 

 c'eft-à-direio ; en général , l'équation la plus com- 

 pofée de l'ordre n , aura un nombre de termes 

 = 0 + 2) X ( ± ~}, c'eft-à-dire , à la fomme d'une 

 progrelîion arithmétique , dont /z+ 1 eft le premier 

 terme & 1 le dernier. Foye^ Progression arith- 

 métique. 



Il eft clair qu'une droite ne peut jamais rencontrer 

 une ligne du n e ordre qu'en n points tout au plus ; 

 car quelque transformation qu'on donne aux axes , 

 l'ordonnée n'aura jamais que n valeurs réelles tout 

 au plus, puifque l'équation ne peut être que du de- 

 gré n. On peut voir dans l'ouvrage de M. Cramer, 

 déjà cité , plufieurs autres propofitions , auxquelles 

 nous renvoyons, fur le nombre des points , oit les 

 lignes de différens ordres ou du même ordre peuvent 

 fe couper.Nous dirons feulement que l'équation d'une 

 courbe du degré n étant ordonnée , par exemple , par 

 rapport à y, en forte que y n n'ait pour coefficient 

 que l'unité, cette équation aura autant de coeffi- 

 ciens qu'il y a de termes , moins un , c'eft - à - dire , 



. Donc fi on donne un pareil nombre de 

 points , la courbe du n e ordre qui doit pafler par ces 

 points fera facilement déterminable ; car en prenant 

 un axe quelconque à volonté , & menant des points 



donnés des ordonnées à cet axe > on aura 



ordonnées connues , ainfi que les abfciïfes corref- 

 pondantes , & par conféquent on pourra former au- 

 tant d'équations , dont les inconnues feront les coef- 

 ficiens de l'équation générale-. Ces équations ne 

 donneront jamais que des valeurs linéaires pour les 

 coefficiens, qu'on pourra par conféquent trouver 

 toûjours facilement. 



Au refte il peut arriver que quelques-uns des 

 coefficiens foient indéterminés , auquel cas on pourra 

 faire palier plufieurs lignes du même ordre par les 

 points donnés ; ou que les points donnés foient tels 

 que la courbe n'y puiffe pafler , pour lors l'équation 

 fera réductible en plufieurs autres rationnelles. Par 

 exemple , qu'on propofe de faire pafler une fection 

 conique par cinq points donnés ( car n étant — z , 



nn+ ^ n eft = 5 ) : il eft vifible que fi trois de ces 



points font en ligne droite , la fection n'y pourra 

 paner ; car une fection conique ne peut jamais être 

 coupée qu'en deux points par une ligne droite, puif- 

 que fon équation n'eft jamais que de deux dimen- 

 fions. Qu'arrivera-t-il donc } l'équation fera réducti- 

 ble en deux du premier degré , qui repréfenteront 

 non une fedtion conique , mais le fyftème de deux li- 

 gnes droites , & ainfi des autres. 



On peut remarquer aufli que fi quelques coefÏÏ- 

 ciens fe trouvent infinis , l'équation fe fimplifie ; cat 

 les autres coeniciens font nuls par rapport à ceux-là, 

 & on doit par conféquent effacer les termes où fe 

 trouvent ces coefficiens nuls. 



M. Newton a fait fiir les courbes du fécond genre 

 un traité intitulé , enumeratio linearum tend ordinis. 

 Les démonftrations des différentes propofitions de ce 

 traité fe trouvent pour la plupart dans les ouvrages 

 de MM. Stirling & Maclaurin fur les courbes, & dans 

 les autres ouvrages dont nous avons déjà parlé. Nous 

 allons rapporter fommairement quelques-uns des 

 principaux articles de l'ouvrage de M. Newton. Cet 

 auteur remarque que les courbes du fécond genre ÔC 

 des genres plus élevés, ont des propriétés analogues 

 à celles des courbes du premier genre : par exemple, 

 les ferions coniques ont des diamètres & des axes ; 

 les lignes que ces diamètres coupent en deux parties 



