égales font appellées ordonnées ; & le point de la 

 courbe où pafTe le diamètre eft nommé fommet ; de 

 même fi dans une courbe du fécond genre on tire deux 

 lignes droites parallèles qui rencontrent la courbe en 

 trois points , une ligne droite qui coupera ces paral- 

 lèles , de manière que la fomme des deux parties 

 comprifes entre la iëcante & la courbe d'un même 

 côté , foit égale à l'autre partie comprife entre la 

 fécante & la courbe , coupera , fuivant la même loi , 

 toutes les autres lignes qu'on pourra mener parallè- 

 lement aux deux premières , & qui feront terminées 

 à la courbe , c'eft-à-dire les coupera de manière que 

 la fomme des deux parties d'un même côté fera égale 

 à l'autre partie. 



En effet , ayant ordonné l'équation de manière 

 que fans coefficient foit au premier terme , le fé- 

 cond terme fera j 2 (a-\-b x} , & ce fécond terme 

 contiendra la fomme des racines, c'eft-à-dire des va- 

 leurs de y. Koye^ Equation. Or par l'hypothefe , 

 il y a deux valeurs de x qui rendent ce fécond terme 

 = o , puifqu'il y a deux valeurs de x ( hyp. ) qui 

 donnent la fomme des ordonnées poiitives égale à 

 la fomme des négatives. Donc il y a deux valeurs 

 de x , fçavoir A & B , qui donnent a -J- b A = o , 

 a -f- B b z= o. Or cela ne peut-être , à moins qu'en 

 général on n'ait a=o, b — o. Donc a -j- b x ~ o , 

 quelque valeur qu'on fuppofe à x. Donc le fécond 

 terme manque dans l'équation. Donc la fomme des 

 ordonnées poiitives eft par -tout égale à la fomme 

 des ordonnées négatives. 



On peut étendre ce théorème aux degrés plus 

 élevés. Par exemple , dans le quatrième ordre , le z d 

 terme étant y> ( # -J- £ x ) , c'eft encore la même 

 chofe ; & fi deux valeurs de x donnent la fomme 

 des ordonnées nulle , toutes les autres valeurs la 

 donneront. 



Outre cela, comme dans les ferions coniques non 

 paraboliques , le quarré d'une ordonnée , c'eft-à-dire 

 le rectangle des ordonnées fituées de deux différens 

 côtés du diamètre , eft au reûangle des parties du 

 diamètre terminées aux fommets de l'ellipfe ou de 

 l'hyperbole, comme une ligne donnée appellée la- 

 ttis ncium ou paramètre , eft à la partie du diamètre 

 comprife entre les fommets, & appellée latus tranf- 

 verj'um; de même dans les courbes du fécond genre 

 non paraboliques , le parallélépipède fous trois or- 

 données eft au parallélépipède fous les trois parties 

 du diamètre terminées par les fommets & par la ren- 

 contre des ordonnées , dans un rapport confiant. 



Cela eft fondé fur ce que le dernier terme de l'é- 

 quation , lavoir h xi lx z -\- m x -f- n, eft le pro- 

 duit de toutes les racines ; que ce dernier terme eft 

 outre cela le produit de A x -f B par D x + E , Se 

 par Fx -f- G , & que aux points où y = o , c'eft-à- 

 dire où le diamètre coupe la courbe , points que l'on 

 appelle ici fommets ,011 3.x=. — ^,x = — ~, x = 



— j : avec ces proportions on trouvera facilement 



la démonftration dont il s'agit , ainli que celle des 

 théorèmes fuivans , qui font aufïi tirés de M. Newton. 



Comme dans la parabole conique, qui n'a qu'un 

 fommet fur un feul & même diamètre , le redlangle 

 des ordonnées eft égal au produit de la partie du 

 diamètre comprife entre le fommet & l'ordonnée , 

 par une ligne confiante appellée latus reclum ; de 

 même dans celles des courbes du fécond genre qui 

 n'ont que deux fommets fur un même & unique dia- 

 mètre , le parallélépipède fous trois ordonnées eft 

 égal au parallélépipède fous les deux parties du dia- 

 mètre , comprife entre les fommets &c la rencontre 

 de l'ordonnée , & fous une troifieme ligne confian- 

 te , que l'on peut par conféquent nommer latus rec- 

 tum. Foyei Parabole. 



De plus 3 dans les feclions coniques , fi deux 



lignes parallèles & terminées à la fc&ion , font cou- 

 pées par deux autres lignes parallèles & terminées 

 à la fe&ion , la première par la troifieme & la fé- 

 conde par la quatrième , le rcclangle des parties de 

 la première eft au redangle des parties de la troi- 

 fieme , comme le reclangie des parties de la féconde 

 eft au reclangle des parties de la quatrième ; de mê- 

 me auffi , fi on tire dans une courbe du fécond genre 

 deux lignes parallèles , terminées à la courbe en trois 

 points , & coupées par deux autres parallèles termi- 

 nées à la même courbe , chacune en trois points , le 

 parallélépipède des trois parties de la première ligne 

 fera à celui des trois parties de la troifieme , comme 

 le parallélépipède des trois parties de la féconde eft 

 à celui des trois parties de la quatrième. 



Enfin les branches infinies des courbes du premier 

 & du fécond genre & des genres plus élevés , font ou 

 du genre hyperbolique ou du genre parabolique : 

 une branche hyperbolique eft celle qui a une aiymp- 

 tote, c'eft-à-dire qui s'approche continuellement de 

 quelque ligne droite ; une branche parabolique eft 

 celle qui n'a point d'afymptote. Voye^ Asymptote 

 & Branche. 



Ces branches fe peuvent diftinguer encore mieux 

 par leurs tangentes. En effet , fi le point de contad 

 d'une tangente eft fuppofé infiniment éloigné , la 

 tangente de ce point fe confond avec l'afymptote 

 dans une branche hyperbolique ; & dans une bran- 

 che parabolique, elle s'éloigne à l'infini, & difpa- 

 roît. On peut donc trouver l'afympto e d'une bran- 

 che , en cherchant fa tangente à un point infiniment 

 éloigné , & on trouve la direction de cette branche , 

 en cherchant la pofition d'une ligne droite parallèle 

 à la tangente , lorfque le point de contacl: eft infini- 

 ment éloigné ; car la direction de la branche infinie 

 à fon extrémité eft parallèle à celle de cette li^ne 

 droite. 



Les lignes d'un ordre impair , par exemple du 

 troifieme, du cinquième, ont néceftairement quel- 

 ques branches infinies ; car on peut toujours par 

 une transformation d'axes , s'il eft nécefîaire , pré- 

 parer l'équation , enforte que l'une au moins des 

 coordonnées fe trouve élevée à une puiffance im- 

 paire dans l'équation ; elle aura donc toujours au 

 moins une valeur réelle , quelque valeur qu'on fup- 

 pofe à l'autre coordonnée. Donc , &c. 



Nous avons dit plus haut que dans. une ligne 

 courbe d'un genre quelconque, on peut toujours ima- 

 giner l'axe tellement placé , que la fomme des or- 

 données d'une part foit égale à la fomme des ordon- 

 nées de l'autre. L'axe en ce cas s'appelle ordinai- 

 rement diamètre. Il eft évident que toute courbe en 

 a une infinité ; car ayant transformé les axes d'une 

 manière quelconque, on peut toujours fuppofer cette 

 transformation telle que le fécond terme de la trans- 

 formée manque , & en ce cas l'un des axes fera dia- 

 mètre. 



On appelle diamètre abfolu celui qui divife les or- 

 données en deux également ; tels font ceux des fec- 

 . tions coniques. 



M. de Bragelongne appelle contre-diametre un axe 

 des abfcifîes , tel que les abfciffes oppofées égales 

 ayent des ordonnées oppofées égales ; c'eit-à-dire, 

 tel que x négative donne y négative , fans changer 

 d'ailleurs de valeur. 



Ceci nous conduit naturellement à parler des cen- 

 tres, dont nous avons déjadit un mot plus haut. Pour 

 qu'une courbe ait un centre , il faut qu'en fuppofant 

 l'origine placée dans ce centre, & prenant deux x 

 oppofées & égales, lesy correlpondantes foient auffi 

 oppofées & égales ; c'eft-à-dire il faut que faifant x 

 négative dans l'équation, on trouve pour y _ la mê- 

 me valeur , mais négative. L'équation doit donc être 

 telle -par rapport à x & ly 7 qu'en changeant les fi- 



