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gnes de x 6c de j, elle demeure ablolument la mê- 

 me ; donc cette équation ne doit contenir que des 

 puiffances ou des dimenfions impaires de x & dey, 

 fans terme confiant , ou des puiffances & des dimen- 

 fions paires de x 6c de y, avec ou fans terme conf- 

 iant. Car dans le premier cas , tous les fignes chan- 

 geront, en faifant x 6c y négatives, ce qui eft la 

 même chofe que fi aucun figne ne changeoit ; 6c dans 

 le fécond cas aucun figne ne changera. Voulez-vous 

 donc favoir fi une courbe, a un centre ? L'équation 

 étant ordonnée par rapport à x & à y, imaginez que 

 l'origine foit tranfportée dans ce centre , enlbrte que 

 l'on ait x -j- a = £ , y + b — u; 6c déterminez a & b 

 à être telles , qu'il ne relie plus dans la transformée 

 que des dimenfions paires, ou des dimenfions impai- 

 res fans terme confiant ; fi la courbe a un centre pof- 

 fible , vous trouverez pour a 6c b des valeurs réel- 

 les. Dans l'extrait du livre de M. l'abbé de Gua , 

 journal des Sàvans , Mai 1740, extrait dont je fuis 

 l'auteur, on a remarqué que l'énoncé de la méthode 

 •de cet habile géomètre pour déterminer les centres, 

 étoit un peu trop générale. 



Nous ne nous étendrons pas ici fur les manières 

 de déterminer les différentes branches des courbes ; 

 nous renvoyerons fur ce fujet au livre de M. Cra- 

 mer , qui a pour titre , introduction à Vanalyfe des li- 

 gnes courbes. Nous dirons feulement ici que ce pro- 

 blème dépend de la connoiffance des fériés & de la 

 règle du parallélogramme , dont nous parlerons en 

 leur lieu. Voye{ Parallélogramme, Série, &c 



Divijion des courbes en dijférens ordres. Nous avons 

 vu à Y article Conique , comment l'équation géné- 

 rale des feclions coniques ou lignes du fécond ordre 

 donne trois courbes différentes, Foye^ le troijitme vol. 

 p. 8y8 , col. i re ; nous remarquerons feulement ici , 

 i° qu'il faut — D u u au lieu de D u u ; c'eft une 

 faute d'imprefiion : 2 0 que lorfque D eft négatif, 6c 

 par conféquent — Duu pofitif , alors l'équation pri- 

 mitive & générale y y +P xy 4- b x x -f qy+ c x 

 4- a = o efi: telle que la portion y y + p x y -f 

 h x x a fes deux faûeurs imaginaires, c'eft-à-dire 

 que cette portion -\-p xy + b xx fuppofée égale 

 à zéro , ne donneroit aucune racine réelle. On peut 

 aifément s'en affûrer par le calcul ; car en ce cas on 



trouvera ? ~- < b , 6c la quantité A dans la trans- 

 formée n+Jxx-\-Bx + C=zo fera pofitive, 6c 

 par conféquent — D pofitive : 3 0 dans l'équation^ 

 — Duu-\-Fu+G — o, on peut réduire les trois 

 termes — Duu-\-F u-{-G à deux 4- K 1 1 4- H, lorf- 

 que D n'eft pas = o , par la même méthode qu'on 

 employé pour faire évanouir le fécond terme d'u- 

 ne équation du fécond degré ; c'eft-à-dire en faifant 

 u — ^ — t , 6c alors l'équation fera £ 1 -f- K t t 4- 

 H—o; équation à Fellipfe , fi K efi: pofitif; & à 

 l'hyperbole , fi K eft négatif : 4 0 fi D = o , en ce cas 

 on fera F u 4- G — kt, 6c l'équation fera n -f- k t 

 = 0) qui eft à la parabole : 5 0 dans le cas où D — o , 

 y y jç-p % y 4- b x x a fes deux fadeurs égaux ; 6c 

 dans le cas où D eft pofitif, c'eft-à-dire oh.— Duu 

 eft négatif , y y 4- P X J + b x x afes deux facteurs 

 réels & inégaux, & l'équation appartient à l'hyper- 

 bole , car en ce cas > b , & A eft négative. 

 Koyei fur cela , fi vous le jugez à propos , le fep- 

 îieme livre des feclions coniques de M. de l'Hôpital , 

 qui traite des lieux géométriques ; vous y verrez 

 comment l'équation générale des feûions coniques 

 fe transforme en équation à la parabole , à l'elllpfe 

 ou à l'hyperbole , fuivant que yy + p x y -f * # x 

 eft un quarré , ou une quantité compofée de facteurs 

 Imaginaires , ou de fadeurs réels inégaux. Paffons 

 maintenant aux lignes du troifieme ordre ou courbes 

 4u. fécond genre. 



Réduction des courbes du fécond genre, M. Newton 



réduit toutes les courbes du fécond genre à quatre 

 efpeces principales repréfentées par quatre équa- 

 tions. Dans la première , le rapport des ordonnées 

 y aux abfcifles x , eft repréfenté par l'équation xyy 

 -\-eyz=.ax3-\-bxx-\-cx-\-d$ dans la féconde , 

 l'équation a cette forme x y = a x3 4- b x x + c .x 

 + d; dans la troifieme, l'équation eftjy = a x3 -f- 

 b x z -f- c x + d ; enfin la quatrième a pour équation 

 y = a x3 -j- b x 2 -j- c x -J- d. 



Pour arriver à ces quatre équations , il faut d'a- 

 bord prendre l'équation générale la plus compofée 

 des lignes du troifieme ordre, & l'écrire ainfi: 

 £3 -J- b i 2 u -j- c 1 u 2 -f- e «3 ~) 



4- i 1 + / u f 



+ m 3 



On remarquera que le plus haut rang {3 + b { u x 

 -f c u\ z -f- c u3 étant du troifieme degré , il aura au 

 moins un faûeur réel ; les deux autres étant , ou 

 égaux entr'eux & inégaux au premier facteur , ou 

 réels 6c inégaux , tant entr'eux qu'avec le premier 

 facfeur , ou imaginaires , ou enfin égaux au premier. 

 Soit 1 H- A u ce facfeur réel , & faifons d'abord ab- 

 ftraétion du cas où les trois facteurs font égaux ; 

 foit fuppofé A u =: t , on aura une transformée 

 qui contiendra t3,t % ,t,tuu,ut£, tu,uu6cu, 

 avec un terme confiant ; or on fera d'abord difpa- 

 roître le terme u u , en fuppofant t-\- Fzcfj enfuite 

 en faifant u N f + p -\- Q (\çs grandes lettres dé- 

 fignent ici des coefficiens), on fera difparoître les ter- 

 mes il ne reliera plus que des termes 

 qui repréfenteront la première équation xy y 4- ey 

 — ax3 -\-bxx-{-cx-\-d=o. 



En fécond lieu , fi les trois fa&eurs du plus haut 

 rang font égaux, on n'aura dans l'équation trans- 

 formée , en faifant { 4- A u = / , que les termes t3 % 

 t x , r , u , t u, u u, 6c un terme confiant. Or on peut 

 faire difparoître les termes t u 6c u, en fuppofant 

 u -\- R t + K=f, & l'on aura une équation de la 

 forme y y ■ = a x3 -{-b x % -J- c x 4- d. Troifieme forme 

 de M. Newton. Nous remarquerons même que cette 

 équation pourroit encore fe Amplifier ; car en fup- 

 pofant x — R -f- q > on feroit évanouir les termes 

 bx x o\\d> 6c quelquefois le terme c x. 



3 0 . Si les trois facfeurs du premier rang font 

 égaux , & que de plus un de ces facfeurs foit aufli 

 fadeur du lecond rang/^ i + g iu + huu, alors la 

 transformée aura des termes de cette forme t3 , / , 

 t u y 1 1 f w , & un terme confiant. Or faifant t -j- R 

 =z q , on fera difparoître le terme u , 6c on aura une 

 équation de cette forme x y — a x3 4- b x 2 -\~ ex 

 4- d. Seconde forme de M. Newton. Cependant on 

 pourroit encore fimplifier cette équation , 6c faire 

 difparoître les deux termes b x 2 + c x , en fuppo- 

 fant x = Q P ,6c y = N P 4- R 1 + M, 



4 0 . Enfin fi les trois facfeurs du premier rang 

 étant égaux, ceux du fécond font les mêmes, l'équa- 

 tion alors n'aura que des termes de cette forme t3 9 

 1 1 , u6c t , avec un terme confiant , & elle fera de 

 la quatrième forme de M. Newton, j = a x3 -f- b x 2 

 4- c x -f d, de laquelle on peut encore faire difpa- 

 roître les termes b x 2 -\-c x + d , en fuppofant x—p 

 4- R , 6c y 4- N x 4- Q = En ce cas l'équation fe- 

 ra de la forme j = A x3 , & repréfentera la première 

 parabole cubique. Foy. les ufages de Vanalyfe de Def- 

 cartes , par M. l'abbé de Gua , page 4J7 & fuiv. 



On y oit par ce détail fur quoi eft fondée la divi- 

 fion générale des lignes du troifieme ordre qu'a don- 

 né M. Newton ; on voit de plus que les équations 

 qu'il a données auroient pû encore recevoir toutes 

 une forme plus fimple , à l'exception de la première. 



E numération des courbes du fécond genre. L'auteur 

 fubdivife enfuite ces quatre efpeces principales en 



un 



