un grand nombre d'autres particulières , à qui il don- 

 ne différens noms. 



Le premier cas qui eft celui de xy y e x = a x3 

 -\- b x* -\- c x -\- d=. o , eft celui qui donne le plus 

 grand nombre de fubdivifions ; les trois fubdivifions 

 principales font que les deux autres racines du plus 

 haut rang foient ou réelles & inégales , ou imaginai- 

 res, ou réelles & égales ; & chacune de ces fubdivi- 

 fions en produit encore d'autres. Voye^ L'ouvrage de 

 M. l'abbé de Gua , page 440. & fuiv. 



Lorfqu'une hyperbole eft toute entière au-dedans 

 de fes afymptotes comme l'hyperbole conique , M. 

 Newton l'appelle hyperbole infcrite : lorfqu'elle coupe 

 chacune de fes afymptotes, pour venir fe placer ex- 

 térieurement par rapport à chacune des parties cou- 

 pées, il la nomme hyperbole circonfcrite ; enfin lorf- 

 qu'une de fes branches eft infcrite à fon afymptote, 

 & l'autre circonfcrite à la fienne , il l'appelle hyper- 

 bole ambigtne: celle dont les branches tendent du 

 même côté, il la nomme hyperbole convergente : celle 

 dont les branches ont des directions contraires , hy- 

 perbole divergente : celle dont les branches tournent 

 leur convexité de différens côtés , hyperbole à branches 

 contraires : celle qui a un fommet concave vers l'a- 

 fymptote, & des branches divergentes , hyperbole 

 conchoïdale .vcelle qui coupe fon afymptote avec des 

 points d'inflexion , & qui s'étend vers deux côtés op- 

 pofés, hyperbole anguinèe ou ferpentante: celle qui 

 coupe la branche conjuguée , cruciforme : celle qui 

 retourne fur elle-même & fe coupe , hyperbole à nœud: 

 Celle dont les deux parties concourent en un angle de 

 conta£l & s'y terminent , hyperbole à pointe ou à re- 

 brouffement : celle dont la conjuguée eft une ovale 

 infiniment petite , c'eft-à-dire un point , hyperbole 

 pointée ou à point conjugué : celle qui par l'impolli- 

 bilité de deux racines n'a ni ovale , ni point conju- 

 gué , ni point de rebrouffement , hyperbole pure; l'au- 

 teur fe fert dans le même fens des dénominations de 

 parabole convergente , divergente , cruciforme, &c. Lorf- 

 que le nombre des branches hyperboliques furpaffe 

 celui des branches de l'hyperbole conique , il appelle 

 l'hyperbole redundante. 



M. Newton compte jufqu'à foixante-douze efpe- 

 ces inférieures de courbe du fécond genre : de ces 

 courbes il y en a neuf qui font des hyperboles redun- 

 dantes fans diamètre , dont les trois afymptotes for- 

 ment un triangle. De ces hyperboles , la première 

 en renferme trois , une infcrite , une circonfcrite , 

 & une ambigene , avec une ovale ; la féconde eft à 

 nœud , la troifieme à pointe , la quatrième pointée , 

 la cinquième & la fixieme pures, la feptieme & la hui- 

 tième cruciformes, la neuvième anguinée. 



Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui 

 n'ont qu'un diamètre : la première a une ovale , la 

 féconde eft à nœud , la troifieme à pointe , la qua- 

 trième pointée ; la cinquième , fixieme , feptieme & 

 huitième , pures ; la neuvième & la dixième cruci- 

 formes , la onzième & la douzième conchoïdales. Il y 

 a deux hyperboles redundantes qui ont trois diamè- 

 tres. 



Il y a encore neuf hyperboles redundantes , dont 

 les trois afymptotes convergent en un point com- 

 mun : la première eft formée de la cinquième & de 

 la fixieme hyperbole redundantes, dont les afymp- 

 totes renferment un triangle ; la féconde de la feptie- 

 me & de la huitième , la troifieme & la quatrième 

 de la neuvième ; la cinquième eft formée de la hui- 

 tième & de la feptieme des hyperboles redundantes, 

 qui n'ont qu'un diamètre ; la fixieme de la fixieme & 

 de la feptieme , la feptieme de la huitième & de la 

 neuvième , la huitième de la dixième & de la onziè- 

 me , la neuvième de la douzième & de la treizième. 

 Tous ces changemens fe font en réduifant en un 

 point le triangle compris par les afymptotes, 

 Tome IF % 



COU 385 



Il y a encore fix hyperboles défectives fans diamè- 

 tre : la première a une ovale, la féconde eft à nœud, 

 la troifieme à pointe , la quatrième pointée , la cin- 

 quième pure , &c. 



Il y a fept hyperboles défectives qui ont des dia- 

 mètres : la première & la féconde font conchoïdales 

 avec une ovale , la troifieme eft à nœud, la quatriè- 

 me à pointe : c'eft la ciftbïde des anciens ; la cinquiè- 

 me & la fixieme font pointées , la feptieme pure. 



Il y a fept hyperboles paraboliques qui ont des 

 diamètres : la première ovale , la féconde à nœud, 

 la troifieme à pointe , la quatrième pointée , la cin- 

 quième pure , la fixieme cruciforme , la feptieme an- 

 guinée. 



Il y a quatre hyperboles paraboliques , quatre hy- 

 perbolifmes de l'hyperbole, trois hyperbolifmes de 

 l'ellipfe, deux hyperbolifmes de la parabole. 



Outre le trident , il y a encore cinq paraboles di- 

 vergentes : la première a une ovale, la féconde eft à 

 nœud , la troifieme pointée ; la quatrième eft à poin- 

 te (cette dernière eft la parabole de Neil , appellée 

 communément féconde parabole cubique ) ; la cinquiè- 

 me eft pure. Enfin il y a une dernière courbe ap- 

 pellée communément première parabole cubique. Re- 

 marquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. 

 Newton dans fon énumération avoit oublié quatre 

 efpeces particulières, ce qui fait monter le nombre 

 des courbes du fécond genre jufqu'à foixante-feize , 

 & que M. l'abbé de Gua y en a encore ajouté deux 

 autres , obfervant de plus que la divifion des lignes 

 du troifieme ordre en efpeces pourroit être beau- 

 coup plus nombreufe , fi on afîïgnoit à ces différentes 

 efpeces des caractères diftinctifs , autres que ceux; 

 que M. Newton leur donne. 



On peut voir dans l'ouvrage de M. Newton , & 

 dans l'endroit cité du livre de M. l'abbé de Gua , 

 ainfique dans M. Stirling, les fubdivifions détaillées 

 des courbes du troifieme ordre, qu'il feroit trop long &c 

 inutile de donner dans un Dictionnaire. Mais nous 

 ne pouvons nous difpenfer de remarquer que les 

 principes fur lefquels ces divifions font fondées, font 

 affez arbitraires ; & qu'en fuivant un autre plan , 

 on pourroit former d'autres divifions des lignes du 

 troifieme ordre. On pourroit, par exemple , comme 

 MM. Euler 6c Cramer , diftinguer d'abord quatre cas 

 généraux : celui où le plus haut rang n'a qu'une ra- 

 cine réelle , celui où elles font toutes trois réelles 

 & inégales , celui où deux font égales , celui où trois 

 font égales , & fubdivifer enfuite ces cas. Cette di- 

 vifion générale paroît d'autant plus jufte & plus na- 

 turelle, qu'elle feroit parfaitement analogue à celle 

 des lignes du fécond ordre ou ferions coniques, dans 

 laquelle on trouve l'ellipfe pour le cas où le plus 

 haut rang a fes deux racines imaginaires ; l'hyper- 

 bole , pour le cas où le plus haut rang a fes racines 

 réelles & inégales , & la parabole pour le cas où el- 

 les font égales. Au refte il faut encore remarquer 

 que toutes les fubdivifions de ces quatre cas , & mê- 

 me la divifion générale , auront toujours de l'ar- 

 bitraire. Cela fe voit même dans la divifion des li- 

 gnes du fécond ordre. Car on pourroit à la rigueur, 

 par exemple , regarder la parabole comme une ef- 

 pece d'ellipfe dont l'axe eft infini (voy. Parabole) , 

 & ne faire que deux divifions pour les feftions co- 

 niques ; & on pourroit même n'en faire qu'une, en 

 regardant l'hyperbole comme une ellipfe , telle que 

 dans réquationyjK = ^ a-—xx> le quarré de l'abfciffe 

 x x ait le figne Il femble qu'en Géométrie comme 

 en Phyfique , la divifion en genres & en efpeces ait 

 toujours nécefïairement quelque chofe d'arbitraire ; 

 c'eft que dans l'une & dans l'autre il n'y a réelle- 

 ment que des individus , & que les genres n'exiftent 

 que par abftraction de l'efprit. 



M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans 



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