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le troifieme ordre , & M. Euler feize , ce qui prouve 

 çncore l'arbitraire des fubdivifions. 

 • On peut par une méthode femblable faire la di- 

 vifiondes courbes d'un genre fupérieur. Voye^co, que 

 M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatriè- 

 me ordr» dans le chap.jx. de fon ouvrage. 



Pour rappeller à l'une des quatre formes de M. 

 Newton une ligne quelconque du troifieme ordre , 

 dont l'équation eft donnée en i & en u , on tranf- 

 formera d'abord les axes de la manière la plus gé- 

 nérale , en fuppolant a — A { +5«-f C, & j = 

 J) ^ -f- E u -f- F ; fubftituant enfuite ces valeurs, on 

 déterminera les coefficiens A , B , &c. à être tels 

 que l'équation en x & eny ait une des quatre for- 

 mes fufdites. 



Points Jïnguliers & multiples des courbes.On appelle 

 point multiple d'une courbe celui qui eft commun à 

 plufieurs branches qui fe coupent en ce point, & par 

 oppofition point Jîmple celui qui n'appartient qu'à 

 une branche. Il eft. vifible qu'au point multiple l'or- 

 donnée y a plufieurs valeurs égales répondantes à 

 un même x. C'eft-là une propriété du point multi- 

 ple ; mais il ne faut pas croire que le point foit mul- 

 tiple , toutes les fois que l'ordonnée a plufieurs va- 

 leurs égales. Car, fi une ordonnée touche la cour- 

 be , par exemple , il efl: aifé de voir que l'ordonnée 

 a dans ce point deux valeurs égales , fans que le 

 point foit double. Voye^ Tangente. La propriété 

 du point multiple , c'efï que l'ordonnée y a plufieurs 

 valeurs égales, quelque Jituation qu'on lui donne ; au 

 lieu que dans le point fimple l'ordonnée qui peut 

 avoir plufieurs valeurs égales dans une certaine fi- 

 tuation, n'en a plus qu'une dès que cette fituation 

 change, ce qui efl: évident par la feule infpeclion 

 <l'un point multiple 6c d'un point fimple. Voye^ 

 Point. 



De-là il s'enfuit que fi on tranfporte l'origine en 

 un point fuppofé multiple , en faifant, £ + A — x , 

 u-\-B —y, ï\ faut qu'en fuppofant £ infiniment petit, 

 on ait plufieurs valeurs nulles de quelque direction 

 qu'on lui donne. Ainfi pour trouver les points multi- 

 ples , il n'y a qu'après avoir tranfporté l'origine dans 

 fe point fuppofé , donner une direction quelconque 

 à l'ordonnée , & voir fi dans cette direction quel- 

 conque l'ordonnée aura plufieurs valeurs égales â 

 zéro. Foye^M. l'abbé de Gua,/>. 88. 6c M. Cramer, 

 page 40$. 



On prouvera par ces principes, que les ferions 

 coniques ne peuvent avoir de points multiples , ce 

 qu'on favoit d'ailleurs. On prouvera aufîi que les 

 courbes du troifieme ordre ne peuvent avoir de points 

 triples , &c. Mais cette propofition fe peut encore 

 prouver d'une manière plus fimple en cette forte. 

 Imaginons que l'ordonnée foit tangente d'une des 

 branches , elle rencontrera cette branche en deux 

 points. Or fi le point efl un point double , par exem- 

 ple , l'ordonnée rencontrerait donc la courbe en trois 

 points , ce qui ne peut être dans une feclion coni- 

 que ; car jamais une droite ne peut la rencontrer 

 qu'en deux points , puifque fon équation ne paffe 

 jamais le fécond degré ; & qu 'ainfi quelque poiition 

 qu'on donne à l'ordonnée, elle ne peut avoir jamais 

 plus de deux valeurs. On prouvera de même qu'une 

 courbe du fécond genre , ou ligne du troifieme ordre, 

 ne peut avoir de point triple , parce que la courbe ne 

 peut jamais être coupée qu'en trois points par une 

 ligne droite. 



A l'égard des points doubles des courbes , nous 

 avons déjà remarqué que les courbes du fécond genre 

 peuvent être coupées en trois points par une ligne 

 droite. Or deux de ces points fe confondent quel- 

 quefois, comme il arrive, par exemple, quand la 

 ligne droite paffe par une ovale infiniment petite ; 



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ou par le point de concours de deux parties d'une 

 courbe qui fe rencontrent , 6c s'unifient en une poin- 

 te. Quelquefois les lignes droites ne coupent la 

 courbe qu'en un point , comme il arrive aux ordon- 

 nées de la parabole de Defcartes, 6c de la première 

 parabole cubique ; en ce cas il faut concevoir que 

 ces lignes droites paffent par deux autres points de 

 la courbe placés à une diflance infinie ou imaginaire. 

 Deux de ces interfeclions coïncidentes , faites à une 

 diflance infinie , ou même imaginaire , conflituent 

 une efpece de point double. 



On appelle points Jïnguliers les points fimples qui 

 ont quelque propriété particulière , comme les points 

 conjugués, les points d'inflexion, les points de fer-» 

 pentement, &c. Foye{ Point, Conjugué , Infle- 

 xion, SERPENTEMENT, &C. Voyt{ <z/^Rebrqus- 

 sement, Nœud, &c. Sur les tangentes des courbes 

 en général , 6c fur les tangentes des points multiples, 

 voye?^ Tangente. 



Defcription organique des courbes. i°. Si deux an- 

 gles de grandeur donnée , P A D , PB D(Pl. de 

 Géomet. fig, 3j .) tournent autour de deux pôles A 6c 

 B , donnés de pofition , & que le point de concours 

 P des côtés A i 3 , B P , décrive une ligne droite , le 

 point de concours D des deux autres côtés décrira 

 une feclion conique qui paffera par les pôles A & 

 B , à moins que la ligne ne vienne à parler par l'un 

 ou l'autre des pôles A6cB, ou que les angles B AD 

 6c A B D ne s'évanoiïiffent à la fois, auquel cas le 

 point de concours décrira une ligne droite. 



2°. Si le point de concours P des côtés A P , B P 9 

 décrit une feclion conique paffant par l'un des pôles 

 A , le point de concours D des deux autres côtés 

 A D , B D , décrira une courbe du fécond genre* qui 

 paffera par l'autre pôle B , & qui aura un point dou- 

 ble dans le premier pôle A , à moins que les angles 

 B A D ,A B D ,ne s'évanoimTent à la fois , auquel 

 cas le point D décrira une autre feclion conique qui 

 paffera par le pôle A. 



3°. Si la fe&ion conique décrite par le point P ne 

 paffe, ni par^/ ni par B , le point D décrira une 

 courbe du fécond ou du troifieme genre , qui aura un 

 point double ; & ce point double fe trouvera dans 

 le concours des côtés décrivans A D , B D , quand 

 les deux angles B A P , A B P , s'évanoiïiffent à la 

 fois. La courbe décrite fera du fécond genre , quand 

 les angles B A D , A B D , s'évanouiront à la fois , 

 finon elle fera du troifieme genre , & aura deux 

 points doubles en A 6c en B. 



Les démonfïrations de ces proportions , qu'il fe- 

 roit trop long de donner ici , fe trouveront dans 

 l'ouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre, Geo- 

 metria organica , où il donne des méthodes pour tra- 

 cer des courbes géométriques par un mouvement con- 

 tinu. Voye^ auffi le VIII. livre des feclions coniques de 

 M. de l'Hôpital. 



Génération des courbes du fécond genre par les om- 

 bres. Si les ombres des courbes de différens genres font 

 projettées fur un plan infini , éclairé par un point 

 lumineux , les ombres des feclions coniques feront 

 des feclions coniques ; celles des courbes du fécond 

 genre feront des courbes du fécond genre ; celles des 

 courbes du troifieme genre feront des courbes du troi- 

 fieme genre, &c. 



Et comme la projection du cercle engendre toutes 

 les feclions coniques , de même la projeclion des 

 cinq paraboles divergentes engendre toutes les au- 

 tres courbes du fécond genre ; 6c il peut y avoir de 

 même dans chaque autre genre une fuite de courbes 

 fimpies , dont la projeclion fur un plan éclairé par 

 un point lumineux , engendre toutes les autres cour- 

 bes du même genre. MM. Nicole & Clairaut , dans 

 les mémoires de Vacad. de ty^ ' 3 ont démontré la pro- 

 priété des cinq paraboles divergentes dont nous ve- 



