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nons de parler; propriété que M. Newton n'avok 

 fait qu'énoncer fans démonftration. Voyer^ auffi fur 

 cette proportion ¥ ouvrait cité de M. l'abbé de Gua, 

 page ic)8. & fuiv. Voyez auffi OMBRE. 



Ufage des courbes pour la conjlruclion des équations. 

 L'ufage principal des courbes dans la Géométrie , elî 

 de donner par leurs points d'interfection la folution 

 des problèmes. Voye^ Construction. 



Suppofons , par exemple , qu'on ait à conftruire 

 une équation de neuf dimenfions, comme x : 9 4- b x 7 

 c* 6 -f dx 5 + ex4-f (m+f) x 3 J t gx' 2 -- 3 r h x + 

 kz=zo, dans laquelle b, c, d? &c. lignifient des 

 quantités quelconques données, affectées des figues 

 + ou — ; on prendra l'équation à la parabole cubi- 

 que x 3 =jy , & mettant y pour x3 dans la première 

 équation, elle fe changera en y 3 + b x y a -f- c y ? 

 4- d x 2 y + exy + m y 4- f x3 + gx* + h x-\-k 

 == o , équation à une autre courbe du fécond genre- 

 dans laquelle m ou / peuvent être fuppofés fc* ù. Si 

 on décrit chacune de ces courbes , leurs points d'in- 

 terfeclion dônneront les racines de l'équation pro- 

 pofée. Il fuffit de décrire une fois la parabole cubi- 

 que. Si l'équation à contraire fe réduit à 7 dimenfions 

 par le manquement des termes hx&ck, l'autre courbe 

 aura , en effaçant m } un point double à l'origine des 

 abfcifTes , & pourra être décrite par différentes mé- 

 thodes. Si l'équation elt réduite à fix dimenfions par 

 •le manquement des trois termes gx 2 4- h x 4. k , 

 l'autre courbe , en effaçant /, deviendra une fetfion 

 conique ; & fi par le manquement des fix derniers 

 termes l'équation elî réduite à trois dimenfions , on 

 retombera dans la conftrutfion que "Waliis en a don- 

 née par le moyen d'une parabole cubique & d'une 

 ligne droite. Voye^ Construction , & ¥ouvrage 

 de M. Cramer, chap.jv. 



Courbe polygone. On appelle ainfi une courbe 

 coniidérée non comme rigoureufement courbe , mais 

 comme un polygone d'une infinité de côtés. C'en 1 

 ainfi que dans la géométrie de l'infini on confidere 

 les courbes ; ce qui ne fignifie autre chofe , rigoureu- 

 fement parlant , finon qu'une courbe elt la limite des 

 polygones, tant infcrits que circonfcrits. Voyt{ Li- 

 mite, Exhaustion, Infini, Différentiel, &c 

 & Polygone. 



Il faut diflinguer , quand on traite une courbe com- 

 me polygone ou comme rigoureufe ; cette atten- 

 tion elt fur-tout nécelTaire dans la théorie des for- 

 ces centrales & centrifuges ; car quand on traite la 

 tourbe comme polygone , l'effet de la force centrale, 

 c'eft-à-dire la petite ligne qu'elle fait parcourir , eft 

 égale à la bafe de l'angle extérieur de la courbe; & 

 quand on traite la courbe comme rigoureufe , l'effet 

 de la force centrale elî égale à la petite ligne , qui 

 eft la bafe de l'angle curviligne formé par la. courbe 

 & par fa tangente. Or il eft aifé de voir que cette 

 petite ligne n'eft que la moitié de la première , parce 

 que la tangente rigoureufe de la courbe divife en deux 

 également l'angle extérieur que le petit côté pro- 

 longé fait avec le côté fuivant. La première de ces 

 lignes eft égale au quarré du petit côté divifé par 

 le rayon du cercle ofculateur , voye^ Osculateur 

 & Développée ; la féconde au quarré du petit 

 côté divifé par le diamètre du même cercle. La pre- 

 mière eft cenfée parcourue d'un mouvement uni- 

 forme , la féconde d'un mouvement uniformément 

 accéléré : dans la première , la force centrale eft 

 fuppofée n'agir que par une impulfion unique , mais 

 grande ; dans la féconde , elle eft fuppofée agir , 

 comme la pefanteur, par une fomme de petits corps 

 égaux ; & ces deux fuppoûtions reviennent à une 

 même ; car l'on fait qu'un corps mû d'un mou- 

 vement accéléré parcourroit uniformément avec 

 fa vîteffe finale le double de I'efpace qu'il a par- 

 couru d'un mouvement uniformément accéléré,pour 

 Tome lF y 



C O U 387 



acquérir 1 cette vîteffe. Voye^ les articles ACCELERA- 

 TION , Central, & Descente. Voye{ auffiiVhifl. 

 de l'acad. ij22\ &C mon traité de Dynamique , page 

 20. article 20. & page 30. article 26. 



Rectification d'une -courbe , eft une opération qui 

 confifte à trouver une ligne droite égale en longueur 

 à cette courbe. Voyc^ Rectification. 



Inflexion d'une, courbe. Voye{ INFLEXION. 



Quadrature d'une courbe , eft une opération qui 

 confifte à trouver l'aire ou I'efpace renfermé par 

 cette courbe , c'eft-à-dire à affigner un quarré dont 

 la furface foit égale à un efpace curviligne. Voye^ 

 Quadrature. 



Famille de courbes , eft Un affemblagé de plufieurs 

 courbes de différens genres , repréfentées toutes par 

 la même équation d'un degré indéterminé , mais dif- 

 férent , félon la diverfité du genre des courbes. Voye^ 

 Famille. 



Par exemple , fuppofons qu'on ait l'équation d'un 



degré indéterminé a" 1 "~ 1 x — y m ; fi m = 2 , on aura 

 a x =zy 2 ; fi m — 3 , on aura a 2 - x ™ y 3 ; fi m ~ 4, 

 a3 x=zy4. Toutes les courbes auxquelles ces équa- 

 tions appartiennent font dites de la même famille 

 par quelques géomètres. 



Les équations qui repréfentcnt des familles de 

 courbes , ne doivent pas être confondues avec les 

 équations exponentielles ; car quoique l'expofant 

 foit indéterminé , par rapport à toute une famille de 

 courbes , il eft déterminé & confiant par rapport à 

 chacune des courbes qui la compofent ; au lieu que 

 dans les équations exponentielles l'expofant eft va- 

 riable & indéterminé pour une feule &même courbe. 

 Voye{ Exponentiel. 



Toutes les courbes algébriques compofent, pour 

 ainfi dire, une certaine famille, qui fe fubdivife en 

 une infinité d'autres, dont chacune contient une in- 

 finité de genres. En effet dans les équations par les- 

 quelles les courbes font déterminées , il n'entre que 

 des produits , foit des puifiances des abfciftes & des 

 ordonnées par des coefficiens conftans , foit des pu if- 

 fan ces des abfcifTes par des puiffânces des ordonnées, 

 foit de quantités confiantes pures & fimples , les unes 

 par les antres. De plus chaque équation d'une courbé 

 peut toujours avoir zéro pour un de fes membres 5 

 par exemple , a xz=y 2 fe change en a x — y 2 — o. 

 Donc l'équation générale qui repréfentera toutes les 

 courbes algébriques fera 



ay m + bxy m ~ t +nxi y*" 1 . . + f y 



Nous devons remarquer ici que le P. Reyneau 

 s'eft trompé dans le fécond volume de fon analyfe 

 démontrée , lorfque voulant déterminer les tangentes 

 de toutes les courbes géométriques en général , il 

 prend pour l'équation générale de toutes ces courbes 



ymj* r bx n y q + c x p — o , équation qui n'a que 

 trois termes. Il eft vifible que cette équation eft in-, 

 fuffifante , & qu'on doit lui fubftituer celle que nous 

 venons de donner. 



Courbe caufiique. Foyei CAUSTIQUE. 



Courbe diacaufiique. Voy*i DlACAUSTlQUE. 



Les meilleurs ouvrages dans lefquéls on puiffe 

 s'inftruire de la théorie des courbes , font, i° ¥enume« 

 ratio linearum tertii ordihis de M. Newton , d'où une 

 partie de cet article Courbe eft tirée : 2 0 l'ouvraga 

 de M. Stirling fur le même fujet, & Geometria organica 

 de M. Maclaurin , dont nous avons parlé : 3 a les ufa* 

 ges de r analyfe de Defcartes par M. l'abbé de Gua, 

 déjà cités ; ouvrage original & plein d'excellentes 

 chofes , mais qu'il faut lire avec précaution ( V oyeç 

 BRANCHE & ReBROUSSEMENT» ) : 4° l'introduction 



