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si Vanalyfe des lignes courbes, par M. Cramer ; ou- 

 vrage très -complet, très- clair & très-inftru&if , & 

 dans lequel on trouve d'ailleurs plufieurs méthodes 

 nouvelles : 5 0 l'ouvrage de M. Euler , qui a pour ti- 

 tre , introduclio in analyf. infinitorum , Laufan. 1748. 



Sur les propriétés , la génération , &c. des diffé- 

 rentes courbes méchaniques particulières ; par exem- 

 ple , de la cycloïde , de la logarithmique , de la fpi- 

 ralc 9 de la quadratice , &c. Voy. Us articles Cycloi- 

 de, Logarithmique, &c 



On peut voir auffi la dernière fedtion de l'appli- 

 cation de l'Algèbre à la Géométrie, de M. Guifnée , 

 où l'on trouvera quelques principes généraux fur 

 les courbes méchaniques. Voye{ aujfi Mechanique 

 & Transcendant. 



On peut faire parler une courbe géométrique & ré- 

 gulière , par tant de points qu'on voudra d'une courbe 

 quelconque irréguliere , tracée fur le papier ; car 

 ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne 

 droite quelconque , qu'on prendra pour la ligne des 

 abfciffes, & ayant abaiffé des points donnés de la 

 courbe irréguliere des perpendiculaires à la ligne des 

 x , on nommera a la première ordonnée , 6c b i'abf- 

 ciffe qui lui répond ; c la féconde ordonnée , & e 

 Fabfciffe eorrefpondante;/la troifieme ordonnée, 

 & ^l'abfcifTe correfpondante. Eniuite on fuppofera 

 une courbe dont l'équation foitjK = A -f- B ' x -f C x x 

 ~\- D x 1 -f- &c. & faifant fucceffivement y = a, x — b; 

 y = c , x = e ; y =/, x = g , &c. on déterminera les 

 coeffîciens A , B , C, &,c. en tel nombre qu'on vou- 

 dra ; & la courbe régulière dont l'équation eûy=A 



B x -j- Cx* , &c. paffera par tous les points don- 

 nés. S'il y 3.n points donnés,il faudra fuppofer n co- 

 efficiens A , B ,C ,D , &c. On peut donc faire ap- 

 procher auffi près qu'on voudra une courbe irrégu- 

 liere d'une courbe régulière ; mais jamais on ne par- 

 viendra à faire coïncider l'un avec l'autre ; & il ne 

 faut pas s'imaginer qu'on puiffe jamais , à la vue fim- 

 ple , déterminer l'équation d'une courbe , comme l'a 

 crû le géomètre dont nous avons parlé au commen- 

 cernent de cet article. 



Les courbes dont l'équation y=zA-\-Bx + C x 2 - 

 &c. s'appellent courbes de genre parabolique. V oye^ 

 Parabolique. Elles fervent à rendre une courbe 

 quelconque irréguliere ou méchanique , le plus géo- 

 métrique qu'il eft poffible. Elles fervent auffi à l'é- 

 quarrer par approximation. Voye{ Quadrature. 

 Au refte , il y a des courbes, par exemple , les cour- 

 bes ovales ou rentrant en elles-mêmes , par lefquelles on 

 ne peut jamais faire paffer une courbe de genre pa- 

 rabolique ; parce que dans cette dernière courbe l'or- 

 donnée n'a jamais qu'une valeur , & que dans les 

 courbes ovales , elle en a toujours au moins deux. 

 Mais on pourroit , par exemple , rapporter ces cour- 

 bes , lorfqu'elles ont un axe qui les divife en deux 

 également , à l'équation y y =zA-\-Bx-\- C x 2 -j- 

 &c. Foye^ Méthode différentielle. 



Courbe à double courbure. On appelle ainfi une 

 courbe dont tous les points ne fauroient être fuppo- 

 fés dans un même plan , & qui par conséquent eft 

 doublement courbe , & par elle-même , & par la fur- 

 face fur laquelle on peut la fuppofer appliquée. On 

 diftingue par cette dénomination les courbes dont il 

 s'agit, d'avec les courbes à fimple courbure ou cour- 

 bes 'ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces 

 courbes à double courbure ; c'eft le premier ouvrage 

 qu'il ait publié. 



Une courbe quelconque a double courbure étant 

 fuppofée .tracée ; on peut projetter cette courbe fur 

 deux plans différens perpendiculaires l'un à l'autre , 

 & les projections feront deux courbes ordinaires qui 

 auront un axe commun & des ordonnées différentes. 

 L'équation d'une de ces courbes iera , par exemple, 

 m x & tny , l'autre en x & en ç. Ainfi l'équation 



d'une courbe à double courbure fera compofée de 

 deux équations à deux variables chacune , qui ont 

 chacune une même variable commune. Il eft à re- 

 marquer que quand on a l'équation en x &. en y, &: 

 l'équation en x & en 1 , on peut avoir par les régies 

 connues ( Voye^ Equation & Division) une au- 

 tre équation en y & en u & ce fera l'équation d'une 

 troifieme courbe , qui eft la projection de la courbe à 

 double courbure fur un troifieme plan perpendicu- 

 laire aux deux premiers. 



On peut regarder , fi l'on veut , une des courbes 

 de projection , par exemple , celle qui a pour coor- 

 données x tky , comme l'axe curviligne de la courbe 

 à double courbure. Si on veut avoir la tangente de 

 cette dernière courbe en un point quelconque , on 

 mènera d'abord la tangente de la courbe de projection 

 au point correfpondant , c'eft-à-dire au point qui eft 

 la projection de celui dont on demande la tangente ; 

 & fur cette tangente prolongée autant qu'il lera né- 



ceffaire , on prendra une partie = ^J y ds exprimant 



le petit arc de la courbe de projection : on a le rap- 

 port de d s à d x par l'équation de la courbe en * & en 

 y ( Foyei Tangente & Différentiel ) ; on a ce- 

 lui de d x à d £ par l'équation de la courbe en x & en 



l. Donc ^ pourra toûjours être exprimé par une 



quantité finie , d'où les différentielles difparoîtront. 

 Une courbe à double courbure eft algébrique , quand 

 les deux courbes de project ion le font : elle eft mé- 

 chanique , quand l'une des courbes de projection eft 

 méchanique , ou quand elles le font toutes deux. 

 Mais dans ce dernier cas on n'en trouvera pas moins 

 les tangentes; car par l'équation différentielle des 

 courbes de projection, .on aura toûjours la valeur de 

 ds en dx 6z celle de d £ en d x. 



Surfaces courbes. Une furface courbe eft repréfentée 

 en Géométrie par une équation à trois variables , 

 par exemple , x , y & En effet , fi on prend une 

 ligne quelconque au-dedans ou au-dehors de la fur- 

 face courbe pour la ligne des x, &C qu'on imagine à 

 cette ligne une infinité de plans perpendiculaires qui 

 coupent la furface courbe , ces plans formeront au- 

 tant de courbes , dont l'équation fera en y & en 1 , & 

 dont le paramètre fera la diftance variable x du plan 

 coupant à l'origine des x. Ainfi, n — x x—y y , 

 eft l'équation d'un cone droit & rectangle, dont l'axe 

 eft la ligne des x. M. Defcartes eft le premier qui 

 ait déterminé les furfaces courbes par des équations à 

 trois variables, comme les lignes courbes par des 

 équations à deux. 



Une furface courbe eft géométrique, quand fon 

 équation eft algébrique & exprimée en termes finis. 

 Elle eft méchanique , quand fon équation eft diffé- 

 rentielle & non algébrique ; dans ce cas on peut re- 

 préfenter l'équation de la furface courbe par d |=sç 

 a.dx-\-Çdy,atk£ étant des fonctions de x , de y 

 & de jjî II femble d'abord qu'on aura cette furface 

 courbe , en menant à chaque point de la ligne des x 

 un plan perpendiculaire à cette ligne , Sl en traçant 

 enfuite fur ce plan la courbe dont l'équation eft d ç 



— Cdy , x étant regardée comme un paramètre con- 

 fiant ,'& d x étant fuppofée = 0. Cette conftruâion 

 donneroit à la vérité une furface courbe ; mais il faut 

 que la furface courbe fatisfaffe encore à l'équation d £ 



— * d x , y étant regardé comme confiant ; c'eft-à- 

 dire il faut que les ferions de la furface courbe, par 

 un plan parallèle à la ligne des x , foient repréfen- 

 tées 1 par l'équation d 1 =. * d x. Or Cela ne peut avoir 

 lieu que lorfqu'il y a une certaine condition entre 

 les quantités a & C; condition que M. Fontaine , de 

 l'académie des Sciences , a découvert le premier. Orç 

 trouvera auffi dans les mémoires de l'académie de 

 Petersbourg , tome III. des recherches fur la ligne la- 

 pins courte que l'on puiffe tracer fur une furfaç§ 



