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pufiuh s'eft trouvé quelquefois durer trois heures 

 quatre minutes , &c celui du foir prefque la moitié de 

 la nuit, Voyti infi. afiron. de M. le Monnier. 



De tout ce que nous avons dit , il s'enfuit que le 

 commencement du crépufcule du matin ou la fin de 

 celui du foir étant donnés, on trouvera facilement 

 l'élévation de l'air qui réfléchit la lumière. Car la 

 fin du crépufcuk arrive lorfque les rayons S D (fig. 

 41.) qui partent du foleil , rafent la terre &fe réflé- 

 chhTent vers l'œil de l'obfervateur par les parties 

 les plus élevées A de l'atmofphere; deforte que me- 

 nant du point O un rayon O A tangent de la terre , 

 ■qui foit réfléchi enA D f Se qui rafe la terre en D , 

 il faut que la hauteur A N de l'atmofphere foit tel- 

 le , que ce rayon A D fane avec l'horifon A B un 

 angle de 1 8 degrés ; parce que le crépufcuk commence 

 ou finit, lorfque le foleil eft à 18 degrés au-deflbus 

 de l'horifon. M. de la Hire a fait ce calcul dans les 

 mémoires de l'académie des Sciences de Paris pour 

 l'année 171 3 , en ayant égard à quelques autres cir- 

 conftances dont nous ne faifons point mention ici , 

 & qu'on peut voir dans fon mémoire Se dans les infi. 

 afiron. page 40 3 ; il a trouvé la hauteur A N de l'at- 

 mofphere d'environ 1 5 y lieues. 



Dans la fphere droite , c'eft-à-dire pour les habi* 

 tans de l'équateur , les crépufcules font plus courts 

 <nie par-tout ailleurs , parce que le foleil defeend 

 perpendiculairement au-deflbus de l'horifon , & que 

 par conféquent il eft moins de tems à s'abaiffer fous 

 l'horifon de la valeur de 18 degrés. Plus on s'éloigne 

 de l'équateur ,plus les crépufcules font longs ; & enfin 

 proche des pôles ils doivent être de plufieurs mois. 



Il y a pour chaque endroit du monde un jour 

 dans l'année où le crépufcule eft le plus court qu'il 

 eft poffible. On trouve dans Yanalyfe des infiniment 

 petits à la fin de la troifieme feclion un problème où 

 il s'agit de trouver ce jour du plus petit crépufcule , 

 l'élévation du pôle étant donnée. On trouve aufii 

 une folution de la même queftion dans les infi. afir. 

 de M. le Monnier ,page 40 y. Ce problème eft réfolu 

 très-élégamment dans les deux ouvrages , & ne pré- 

 fente aucune difficulté confidérable ; cependant M. 

 Jean Bernoulli dit dans le recueil de fes œuvres, 

 tome L page 64. qu'il en a été occupé cinq ans fans 

 en pouvoir venir à bout. Cela vient apparemment 

 de ce qu'il avoit d'abord réfolu le problème analyti- 

 quement , au lieu d'employer l'efpece de fynthèfe 

 qu'on trouve dans Yanalyfe des infiniment petits & 

 dans les infi. afiron. fynthèfe qui rend la folution bien 

 plus fimple. En effet, fi on réfoud ce problème ana- 

 îy îiquement , on tombe dans une équation du qua- 

 trième degré, dont il faut d'abord trouver les quatre 

 racines , & enfuite déterminer celle ou celles de ces 

 racines qui réfolvent la queftion. Comme cette ma- 

 tière n'a été traitée dans aucun ouvrage que je fâ- 

 che avec affez de détail , je vais la développer ici 

 fuivant le plan que je me fuis fait d'éclaircir dans 

 l'Encyclopédie ce qu'on ne trouve point fuffifam- 

 ment expliqué ailleurs. 



Soit (fig. 41. n°. 2. afiron.) P le pôle, Z le zé- 

 nith, HO l'horifon, E C le rayon de l'équateur, E e 

 la déclinaifon cherchée du foleil le jour du plus pe- 

 tit crépufcule ; h 0 le cercle crépufculaire parallèle à 

 l'horifon , lequel cercle eft abaifte au-deffous de l'ho- 

 rifon de 18 degrés, fuivant les obfervations. Soit 

 l'inconnue C c finus de la déclinaifon du foleil = s , 

 & foient les données C Z = 1 , C Q finus de 1 8 de- 

 grés = k, P N finus de la hauteur du pôle — h, on 

 trouvera c T = ; T S se -7=== ; & par con- 



Vi — h h V i — hh 



féquent c S ; 



h s 



- ; or c e ou 1/ 1— s s étant piïfe 



\/l — hh 



pour finus total , c S eft le finus de l'angle horaire 

 depuis le moment de fix heures jufqu'à la fin du cré- 



pufcule , &: c T le finus de l'angle horaire depuis îê 

 moment de fix heures jufqu'à l'inftant où le foleiî 

 atteint l'horifon. Donc 



du premier angle , Se 



VT- 



h: 



■ "h lî. V ï 



eft le finus 



Vx — h h. Vi -, 



eft le finus 



du x d ; or la différence de ces deux angles eft pro- 

 portionnelle au tems du crépufcule. Donc nommant 

 le premier finus u , & le fécond u\ on aura f-fL- — 



•* y,x - utt 



S. u w un minimum , & par conféquent— 



-A 



d u* 



— ; fubftituant pour u & «' leurs valeurs, 



en ne faifant varier que s, on parviendra à une équa- 

 tion de cette forme —4^J L ^~ - h — 



Vl — ss ^—hh- — zhsk — kk V l—s s -hh 



es 0 ; c'eft-à-dire s4 + l±li- s s + s s hh-*^ 

 — h h — o. 



Cette équation peut être regardée comme le pro- 

 duit de ces deux-ci s s — 1 —.0 ; s s -\- ^ + h h 

 = o ( Voyei Equation) ; d'où l'on tire les quatre 

 valeurs fuivantes desjsz=i y s= — 1 ; s = — ^--f- 



V hh — hh — _ h+ h i/j. „ kk $ts = - 

 k k k k 



i_ tv* - kk 

 k k 



Or de ces quatre valeurs , il eft d'abord évident 

 qu'il faut rejetter les deux premières; car l'une don- 

 neroit la déclinaifon boréale du foleil = 1 , l'autre 

 la déclinaifon auftrale — 1 , & cela ne fe peut pour 

 deux raifons: i° parce que la déclinaifon du foleil 

 n'eft jamais égale à 90 degrés : 2 0 parce que s = 1, 

 donner.oit les finus des deux angles horaires égaux 

 à l'infini , comme il eft aifé de le voir : ce qui ne fe 

 peut ; car tout finus réel d'un angle réel ne fauroit 

 être plus grand que l'unité. Il ne refte donc que les 

 deux valeurs - 1±£=±* Se - h + h ^^ J'exa- 



k k 



mine d'abord la féconde de ces deux valeurs , & je 

 vois qu'elle eft négative, ce qui indique que la dé- 

 clinaifon donnée par cette valeur eft auftrale & non 

 boréale , comme nous l'avons fuppofé dans la folu- 

 tion. 



D'ailleurs il faut que h+ V ' 1 ~ kk foit plus petit que 



le finus total , & jamais plus grand que le finus t de 

 23 d l, qui eft la plus grande déclinaifon du foleil; 

 ce qui donne h-\-h\/ 1 — k. k<^ou— k ê , & par con- 

 féquent h = ou < - — ; de plus fi on cherche la 



i *■+ V 1— kk 



tangente de la moitié de l'angle dont le finus eft k 9 

 c'eft-à-dire de la moitié de l'arc crépufculaire de 18 

 degrés , & par conféquent la tangente de neuf de- 



grés , en trouvera que cette tangente eit — 7 — - 



car i° la tangente de l'angle dont le finùs eft k, eft 

 — (yoyei Tangente) ; 2 0 fi on divife cet an- 



\^ 1 — k k 



gle en deux parties égales , & qu'on nomme x la 

 tangente de la moitié de l'angle, on aura cette pro- 

 portion x : — x : : 1 : ~—~ ; car on fait que 



dans un triangle dont l'angle du fommet eft divi- 

 fé en deux parties égales 3 les parties de la bafe 



k 



font comme les côtés adjacens. Donc x = — ~ 



donc au lieu de s — — h ( 1 + * / * z ~ kk ^ on peut met- 



tre s = — -; donc on dira, comme la tangente x 

 de neuf degrés eft au finus de l'élévation du pôle , 

 ainfi le finus total eft au finus de la déclinaifon auf- 

 trale. Il faut donc pour que s foit = ^, que l'élé- 

 vation du pôle foit très -petite, puifque x eft déjà 



une 



