une quantité très-petite , & que h - ne fauroit être > 

 e : ainfi cette racine s = — - ne fervira de rien clans 

 les cas où -f- fera > e. Nous verrons dans la fuite 

 ce qu'elle indique lorfque - eft < e. 

 A l'égard de l'autre valeur s = - h ztïI±L 



k 5 



elle efl évidemment négative aufîi, puifque i efl > 

 \/'%~hi \ ce c l u i donne encore la déclinaifon du foleii 



ft i — i/i-U g 

 aultrale ; & comme on a — ~ k îT7/i - k l 



(ce qu'il eft aifé de voir en multipliant en croix les 

 deux membres ) il s'enfuit que cette féconde valeur 

 efl — — h x ; donc on dira , comme le rayon eft à la 

 tangente de neuf degrés , ainfi le finus de la hauteur 

 du pôle efl à la déclinaifon auflrale cherchée : c'eft 

 l'analogie que M. Jean Bernoulli 6k M. de l'Hôpital 

 ont donnée pour la foiution de ce problème ; & la 

 racine s — —hx réfout par conféquent la queflion , 

 parce que h x efl toujours plus petit que e; car la 

 tangente x de 9 degrés eft plus petite que le fmus e 

 de 2i d [. Mais l'autre racine s = — - réfout - elle 



auffi le problème ? Voilà où eft la difficulté. 



Pour la réfoudre , nous n'avons qu'à fuppofer 

 dans la foiution primitive que la déclinaifon foit 

 auflrale au lieu d'être boréale , & faire le calcul 



N£fc. • ■ ' .',. n , >-3.: u . : . ar~»M"fc 4 

 comme défais , nous trouverons — — z > 



hs 



pour le fmus d'un des angles horaires, & 



Vx-ss.V'ï-hh 



pour l'autre ; nous verrons de plus que c'eft alors la 

 fomme de ces angles , & non leur différence , qui 

 eft le tems du crèpujcule , comme il eft aifé de le prou- 

 Ver en confidérant la figure , le point e fe trouvant 

 de l'autre côté de E ; car le point c fe trouvera alors 

 entre les points T &c S, & T S fera égale non à la 

 différence, mais à la fomme de c S & de c T. Ache- 

 vant' donc le calcul , on trouvera une équation qui 

 ne différera de l'équation du quatrième degré en s 

 trouvée ci-deffus , que par les lignes des termes im- 

 pairs, c'eft-à-dire des termes où font sJ & s. Cette 

 équation fera le produit de s s — 1 par s s — -f- 

 h 11 , & l'on aura deux valeurs pofitives de s, favoir 

 . Ce font les deux valeurs de s , lorf- 



h + h\/i_kk 



2 h . 



i &C 



que la quantité du quatrième degré s4 



eft fuppofée == o. Cela pofé , on peut regarder cette 

 quantité comme le produit de 1 — s s pofitive par 



&c. fera 

 & 



2 A 



Hl — h h — s s; & lorfque s* 



— h h — s s > o , & s s 



> o , on aura 



a. hs 



2 A . 

 T 



< o, & par conféquent s <— £ < 



À J/ 



- * < 



hyi-kk 



. Donc 5 < 



jt fc \* • a 



h-hvïz— k Donc la quantit( 4 54 _ < 0 don ^ 



h h yT 

 nera 5. > j + ~ 



quantité 54— 2 ~ &c. = o , vient dé ( s k — /z ) 



Yi-ss-hh ~-\-h \/\ss — h~h + zhks ~k\ ; e n 

 fuppofant la fomme ou la différence des deux angles 

 horaires égale à un minimum; la fomme pour le 'cas 

 de — h s & la différence pour le cas de 4- h; donc 1a 

 quantité j4 — ri— < o ou. — s4 ZiAlj ^c. > 0 , 



vi endra ( en fuppofant s k — h pofitive) de (sk*-È) 

 ^Y — ss—hh > hVi— s s — hh+xhk TZJ"k] or , 

 pour que s k — h foit pofitive dans cette condition \ 

 Tomcir, ? 



k k 



Ses < 



h-h^l-kk 



Or la 



457 



iî faut prendre s> \ -t h ; donc fi 5 > '- h -f h 



Vx -k k 



on a la différence des deux angles horaires 



pofitive : je dis la différence , & non la fomme ; car 

 ii c'étoit la fomme, il faudroit que h dans le fécond 

 membre eût le figne — ; donc la valeur de s = -| 



-{- h donne, non la fomme des deux arcs égale 



à un minimum , mais leur différence égale à un mi- 

 nimum : je disà un minimum; car prenant s plus grand 



qiu 



h + hi/ I _ kk 



, la différence' fe trouve pofitive. V» 



Minimum. Donc la valeur de s = h + hv/ i- 



ne 



réfoud pas le problème du plus court crépufcule ; 

 mais un autre problème , qui n'eft ni celui du plus 

 court, ni celui du plus long crépufcule, & qui néan- 

 moins fe réduit finalement à la même équation du 

 quatrième degré ; parce que les quantités étant éle- 

 vées au quarré , la différence des fignes difparoît. 

 Ceci ne iurprendra point les algébriftes qui fa vent 

 que fouvent une équation donne par fes différentes 

 racines non-feulement la foiution du problème qu'on 

 s'eft propofé, mais la foiution d'autres problèmes 

 qui ont rapport à celui-là , fans être le même. Plu- 

 sieurs équations très-différentes , lorfque l'on n'a pas 

 ôîé les fignes radicaux, deviennent la même lorf- 

 qu'on les ôte. Foyc^ Equation. 



Enfin, fi on fuppofe s4— %&îl & c , > 0> & s >j 



h-k'/i — kk .^ on trouvera que ces conditions donnent 



— s4 + — /- & c - < 0 3 & par conféquent ( à caufe 



que h — s k eft ic i pofitif ) (k — s k) \/i—ss — hh < 

 h V'i—ss-hh- 



-~0"-f (. 



ihsk~kk & h x/i—ss—hh—zhsk 



sk-h) y'i-ss-hk > o;donc la diffé- 

 rence de la fomme des deux arcs eft = o . loridue 



A - A V '\ r ' ~ 



& eft pofitive, lorfque s eft plus 

 grand. Donc cette fomme eft un véritable minimum, 



lorfque 



A -Ai/ 



, & par conféquent cette va- 



leur de s eft la feule qui réfolve véritablement le 

 problème du plus court crépufcule: je dis du plus 

 court , & non pas du plus long. Car l'équation du 

 plus long crépufcule feroit la même que celle du plus 

 court, en faifant la différence == o; parce que la rè- 

 gle pour les maxima & pour les minima eft la même ; 

 ainii il pouvoit encore refter ici de l'équivoque; 

 mais elle eft levée entièrement , lorfque l'on confi- 

 dere que s > ~— h ïl£E*2 donne la différence 



pofitive , ce qui indique le minimum. Si la différence 

 étoit négative , alors le tems du crépufcule feroit 

 un maximum. Mais , dira - 1 - on , quel fera le jour 

 du plus long crépufcule ? Car il y en aura un. Je ré- 

 ponds que le plus long crépufcule ne fe trouve pas 

 en faifant la différence de la fomme des arcs égale à 

 zéro , mais en prenant le crépufcule du jour de la plus 

 grande déclinaifon boréale du foleil , & celui du jour 

 de la plus grande déclinaifon auflrale, & en cher- 

 chant lequel de ces deux crépufcules eft le plus grand. 

 Car il n'y a qu'un feul crépufcule qui foit le plus court, 

 puil qu'il n'y a qu'une valeur de s pour le plus court 

 crépufcule ; donc c'eft un des deux crépufcules extrê- 

 mes qui eft le plus long. V. fur tout cela les art. Ma- 

 ximum & Minim um 3 où nous ferons plufieurs re- 

 marques fur les quantités plus grandes & plus petites. 



M. de Maupertuis dans la première édition de ion 

 Aftronomie nautique , s'eft propofé la même quef- 

 tion que nous venons de difetiter ; il l'a réiblue en 

 très-grande partie , & nous devons ici lui en faire 

 honneur^cependant il y reftoit encore quelque chofe 



M m m 



