dations ■, & îaiffoient aux ouvriers le foin de cette 

 partie de l'exécution des machines , lefquels n'y ob- 

 fervoient d'autre régie , que de faire les dents des 

 roues & les ailes des pignons , de façon que les en- 

 grenages fe fiffent avec liberté , & de manière à rie 

 caufer aucun arrêt. M. de la Hire , de l'académie 

 royale des Sciences-, eft le premier qui en ait parlé, 

 ïl examine cette matière fort au long dans fon traité 

 des èpicycloïâes ; mais des différentes courbures de 

 dents qu'il détermine pour différentes efpeces de pi- 

 gnons , il n'y a guère que celle qu'il donne aux dents 

 qui mènent un pignon à lanterne , qui foit prati- 

 cable. M. Camus a fupplèé à ce qui manquait au 

 traité de M. de la Hire. Ce favant académicien dans 

 fon mémoire } année 1733 des rnérn. de Vacad. roy. des 

 Sciences , détermine les courbes que doivent avoir 

 les dents d'une roue , & les ailes de fon pignon pour 

 Qu'elle le mené uniformément , foit que la dent ren- 

 contre l'aile dans la ligne R I, fig> 102. Plan. XlJt. 

 d'Horlog, qu'on appelle la ligne des centres; foit qu'- 

 elle la rencontre (fig. cjcj.) avant la ligne des cen- 

 tres , & qu'elle la mené au-delà ; foit enfin que {fig. 

 $8.) la dent rencontre l'aile avant la ligne des cen- 

 tres , & qu'elle la mené jufqu'à cette ligne : on peut 

 dire qu'il a rendu par-là un très- grand fervice à 

 l'Horlogerie. Car quoique les habiles horlogers euf- 

 fent des notions affez juftes fur cette matière , la vé- 

 ritable figure des dents des roues étoit toujours pour 

 eux une efpece de problème. 



Nous voudrions pouvoir rapporter ici ce mémoi- 

 re , dont nous reconnoiffons que nous avons tiré 

 beaucoup de lumière : mais comme il eft un peu trop 

 étendu , & de plus qu'il eft démontré d'une manière 

 Un peu trop abftraite pour la plupart des horlogers ; 

 nous tâcherons d'y fuppléer , en démontrant par une 

 autre voie ce qui regarde la figure des dents des roues, 

 & celle des ailes des pignons. 



Une roue R E F étant donnée {fig. 98 & 100), 

 & un pignon PI G, je dis que, pour que la roue 

 mené le pignon uniformément , il faut que, dans 

 une fituation quelconque de la dent & de l'aile pen- 

 dant la menée , les perpendiculaires à la face de l'aile 

 & de la dent , au point on elles fe touchent , fe con- 

 fondent & parlent toutes par un même point M dans 

 la ligne des centres , lequel doit être tellement fitué 

 fur cette ligne , que R M foit à MI 9 comme le nom- 

 bre des dents de la roue à celui des ailes du pignon. 



Pour le démontrer , foit fuppofé L O tirée perpen- 

 diculairement à la face de l'aile , au point G où la 

 dent la touche ; & les lignes 10, R L , abaiffées per- 

 pendiculairement fur cette ligne des points / & R 

 centres du pignon & de la roue : les lignes RL & 

 10 exprimeront , l'une RL,le levier par lequel la 

 roue pouffe le pignon ; l'autre O I, celui^ par le- 

 quel le pignon eft pouffé. C'eft ce qui paroîtra évi- 

 dent , fi l'on fait attention que le mouvement du le- 

 vier R L fe fait dans une perpendiculaire à la ligne 

 O I , & par conféquent que la longueur des arcs infi- 

 niment petits,décrits dans un inftant & parles points 

 L & O, fera la même : comme cela arrive , lorfqu'un 

 levier agit immédiatement fur un autre , dans une 

 direction perpendiculaire. RL exprimant donc le 

 levier par lequel la roue pouffe le pignon , & / O 

 celui par lequel le pignon eft pouffé ; il eft clair que 

 dans tous les points de la menée , fi le levier par le- 

 quel le pignon eft pouffé , & celui par lequel la roue 

 le pouffe , font toujours dans le même rapport , l'ac- 

 tion de la roue dans tous ces différens points pour 

 faire tourner le pignon , fera uniforme : car la va- 

 leur en degrés de chacun des arcs parcourus en mê- 

 me tems par les leviers R L , O I , eft en raifon in- 

 verfe de leurs longueurs , ou comme O I eft à R L ; 

 &la valeur en degrés des arcs parcourus par la 

 roue & par le pignojti dans le même tems ^ eft encore 

 Terne IV % 



DEN 841 



comme ces leviers O 1 & RL: mais les leviers fem- 

 blables à/O, RL , étant toujours dans le mêmé 

 rapport dans tous ces points de la menée , les va- 

 leurs en degrés des arcs parcourus dans le même 

 tenis par la roue & par le pignon , y feront donc 

 aufiî. Or les vîteffes angulaires du pignon & de la 

 roue font comme ces arcs. De plus, on fait par les 

 principés de la Méchanique, cjue pour qu'il y ait 

 équilibre entre deux puiffances* il faut qu'elles foient 

 en raifon inverfe de leurs vîteffes ; donc fi des puif- 

 fances confiantes qui agiffent en feris contraire , l'u- 

 ne fur la roue , l'autre liir le pignon > font en équili- 

 bre dans un point quelconque de la menée 5 elles fe- 

 ront en raifon des vîteffes du pignon & de la roue 

 dans ce point : mais ces vîteffes dans tous les points 

 de la menée étant dans le même rapport , ces puif- 

 fances y feront toujours en équilibre ; donc la forcé 

 avec laquelle la roue entraînera le pignon dans tous 

 ces points , fera toujours la même ; donc le pignon 

 fera mené uniformément. 



Ce principe de Méchanique bien entendu , imagi- 

 nons que la dent (yoye^fig. $8 & 1 00) foit dans une 

 fituation quelconque E G , &que la perpendiculaire 

 au point G paffe par un point quelconque M dans la 

 ligne des centres ; R L fera, comme on l'a vû , le le- 

 vier par lequel la roue pouffera le pignon , & O I lé 

 levier par lequel il fera pouffé. Suppofons de plus 

 que la dent & l'aile étant dans la ligne des centres , 

 elles fe touchent dans ce même point M, RM fera 

 le levier par lequel la roue pouffera lé pignon dans 

 ce point , & M I celui par lequel il fera pouffé. Mais 

 à caufe des triangles femblables R L M , M O I, on a 

 RL : O I:: RM : MI; donc parle principe précédent 

 la roue mènera uniformément le pignon dans les 

 deux points M Se G, puifque le rapport entre les le- 

 viers R M & M / dans le point M, eft le même que 

 le rapport entre les leviers RL &cO I dans le point 

 C> On en démontrera autant de tous les autres points 

 de la menée , pourvu que les perpendiculaires à la 

 dent & à l'aile paffent par ce point M. De plus les 

 tours ou les vîteffes du pignon & de la roue doivent 

 être en raifon inverfe de leurs nombres ; & comme 

 la roue doit mener le pignon uniformément , leurs 

 vîteffes refpettives dans un point quelconque de la 

 menée , doivent être encore dans la même raifon* 

 Ces nombres étant une fois donnés , les vîteffes ref- 

 pettives du pignon & de la roue le feront donc aufïu 

 Or la vîteffe angulaire du pignon au point M eft à 

 celle de la roue au même point , comme le levier 

 MR au levier M I ; MR doit donc être à M I, com- 

 me le nombre de la roue à celui du pignon ; car fans 

 cela , la vîteffe angulaire du pignon dans ce point 

 ne feroit pas à celle de la roue , comme le nombre 

 de la roue à celui du pignon. Donc le point M doit 

 divifer la ligne R I, tellement que R M foit à M I 9 

 comme le nombre de la roue à celui du pignon. 

 Donc pour qu'une roue mené fon pignon uniformé- 

 ment , il faut que dans tous les points de la menée 

 les perpendiculaires à la dent & à l'aile fe confon- 

 dent , & paffent par un même point M dans la ligne 

 des centres, fitué tellement fur cette ligne , que M 

 foit à M I, comme le nombre de la roue à celui dit 

 pignon C. Q. F. D. 



Cette démonftration , comme on voit , s'étend à 

 tous les trois cas , puifqu'on y a confidéré la dent 

 dans une fituation quelconque en-deçà ou au-delà 

 de la ligne des centres. Il eft donc clair que foit que 

 la dent & l'aile fe rencontrent dans la ligne des cen- 

 tres , foit qu'elles fe rencontrent avant cette ligne 

 & qu'elles s'y quittent, foit enfin qu'elles le rencon- 

 trent avant la ligne des centres & qu'elles fe quittent 

 après ; le pignon fera mené uniformément , fi les 

 perpendiculaires aux points où la dent & l'aile fe 

 touchent dans toutes leurs fituations pendant la me* 



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