née , pafTent par un même point M dans la ligne des 

 centres , tellement fitué fur cette ligne , que R M 

 foit à M I , comme le nombre de la roue à celui du 

 pignon, Il y a plus, c s efï que cette démonftration 

 s'étend à toutes fortes d'engrenages où l'on vondroit 

 que la roue menât le pignon uniformément, de 

 quelques figures que foient les dents de la roue & 

 les ailes du pignon. 



Il fuit de la démonftration précédente (voy. les fig. 

 7 03 & 1 04), que fi la perpendiculaire à l'aile dans un 

 point quelconque G où la dent la touche , au lieu de 

 paffer par le point M 9 pafiè par un point Centre R 

 & M; la force de la roue, pour faire tourner le pi- 

 gnon dans ce point G , fera plus grande que lorfque 

 la dent & l'aile étoient dans la ligne des centres & 

 fe touchoiént en M; & qu'au contraire fi cette per- 

 pendiculaire pafTe par un point T entre M & /, cette 

 force fera plus petite; ce qui eft évident, puifque 

 dans le premier cas le pignon tournera plus lente- 

 ment , fa vîtefTe par rapport à celle de la roue étant, 

 comme nous l'avons fait voir , comme R F kFl ; & 

 dans le fécond il tournera plus vite , fa vîtefTe étant 

 à celle de la roue comme R T à T /. 



Nous aurions pu démontrer tout ceci d'une ma- 

 nière plus abrégée , & dans une forme plus géomé- 

 trique ; mais nous avons cru devoir toutfacrifïer à la 

 clarté & à la néceffité d'être entendu par les gens du 

 métier. 



On vient de voir les conditions requifes dans un 

 engrenage pour que la roue mené uniformément le 

 pignon ; nous allons démontrer à préfent que lorfque 

 la dent rencontre l'aile dans ou après la ligne des 

 centres , il faut pour que cet effet ait lieu , que la 

 face de l'aile foit une ligne droite 'tendante au cen- 

 tre , & que celle de la dent foit la portion d'une épi- 

 cycloïde engendrée par un point d'un cercle qui a 

 pour diamètre le rayon d on , & qui roule ex- 

 térieurement fur la circonférence cie la roue. 



Si un cercle CO Q i^fig. g y. n° 2.) roule extérieure* 

 ment fur la circonférence d'un autre cercle A L E , 

 ou intérieurement comme en M , un point quelcon- 

 que C de la circonférence du premier décrira par ce 

 mouvement une ligne qu'on appelle epicycloïde. Voy. 

 Epicycloïde. Si le cercle COQ a^pour diamètre 

 le rayon d'un cercle A L E , alors en roulant en-de- 

 dans fur fa circonférence, comme en M, la ligne 

 qu'il décrira fera une ligne droite diamètre de ce 

 cercle A L E. V~oye{ Epicycloïde. Cela pofé , les 

 cercles P I G , R V E (Jîg. §5. n° 2.) repréfentant 

 l'un le pignon l'autre la roue, dont les diamètres 

 H I , H R, font entre eux comme leurs nombres; 

 qu'on fuppofe deux petits cercles COQ, ayant pour 

 diamètre le rayon du pignon, & pofés fi parfaite- 

 ment l'un fur l'autre , qu'on n'en puifle voir qu'un ; 

 que leurs centres foient parfaitement dans le même 

 point O dans la ligne des centres , & le point C en If 

 ou D dans la même ligne : qu'on imagine enfuite 



( fig-94 n ° 4-) c F e ^ a roue & ^ e pignon fe meuvent en 

 tournant fur leurs centres de M en X, & que ces 

 deux petits cercles fe meuvent auffi, l'un en-dedans 

 fur la circonférence du pignon , l'autre en-dehors 

 fur la circonférence de la roue , mais tellement qu'à 

 chaque arc que le pignon & la roue parcourent, ils 

 en parcourent d'entièrement égaux en fens contrai- 

 re ; c'eft-à-dire que la roue; & le pignon ayant par- 

 couru Fun l'arc M H, l'autre l'arc égal M D , les 

 deux cercles COQ ayent auffi parcouru en fens con- 

 traire ,,1'un en-dehors fur la circonférence de la roue, 

 l'autre en-dedans fur la circonférence du pignon, 

 l'arc M C égal à l'arc M H on MD. Il fuivra de ce 

 mouvement des deux cercles C O Q , que leur cen- 

 tre O ne fortira point de la ligne des centres R I, 

 puifquà chaque infiant que le mouvement de la roue 

 & du pignon tendra à les en "écarter d'un arc quel- 



conque, ils y feront ramenés en roulant toujours éÉ 

 fens contraire d'un arc de la même longueur. Main- 

 tenant fuppofons pour un moment que la roue fê 

 mouvant de M en M, entraîne par le fimple frotte- 

 ment de fa circonférence le pignon,reffèt fera encore 

 le même ; & le pignon fera mû uniformément, puif- 

 qu'on pourra le regarder avec la roue comme deux 

 I rouleaux dont l'un fait tourner l'autre , par la fimple 

 application de leurs parties l'une fur l'autre. Mais 

 ces petits cercles par leurs mouvemens , l'un dans le 

 pignon s l'autre fur la circonférence de la roue, fe- 

 ront dans le même cas que les cercles COQ, MÇfig. 

 9 6\ /2°2.)& COQ qui rouloient au-dedans de la cir- 

 conférence du cercle A LE & au-dehors.Ainfi le point 

 C du cercle COQ roulant au-dedans du pignon , y 

 décrira une ligne droite D S, diamètre de ce pignon, 

 & dont une partie, comme CD, répondra à un. 

 arc C .M parcouru en même tems par ce cercle. De 

 même le point C du cercle COQ roulant fur la cir- 

 conférence de la roue, décrira un épicycloide dont 

 une partie , comme C H, répondra auffi à l'arc M H 

 égal à C M. Mais comme ces deux cercles ont même 

 diamètre , & parcourent toujours dans le même fens 

 des arcs égaux, à câufe du mouvement uniforme du 

 pignon & de la roue , le point décrivant Cdu cercle 

 qui fe meut au-dedans du pignon fe trouvera au mê- 

 me lieu que le point décrivant C du cercle qui fe 

 meut fur la circonférence de la roue. Donc le point 

 C de la partie D I de la ligne droite D S , & le point 

 C de la partie de l'épicycloïde C H, feront décrit» 

 en même tems. Or dans une fituation quelconque du 

 point décrivant C , la ligne M C menée du point M 

 dans la ligne des centres, fera perpendiculaire à la 

 ligne C D ou 7*Z>, puifque ces deux lignes formeront 

 toujours un angle qui aura fon fommet à la circon- 

 férence du cercle C O Q , & qui s'appuiera fur fon 

 diamètre. De même cette ligne M C fera auffi per- 

 pendiculaire à la portion infiniment petite de l'épi- 

 cycioïde C K décrite dans le même tems , puifque M 

 C fera alors comme le rayon décrivant d'une por- 

 tion de cercle infiniment petite C K. Donc fi la face 

 de l'aile & celle de la dent font engendrées par un 

 point d'un cercle dont le diamètre foit égal au raiyon 

 du pignon, & qui fe meuve fur fa circonférence en- 

 dedans & fur la circonférence de la roue en-dehors, 

 elles auront les mêmes propriétés que les lignes C S 

 & C H ; & par conféquent dans toutes les fituations 

 où elles fe trouvèrent les perpendiculaires aux 

 points où elles fe toucheront, fe confondront, & 

 parleront toutes par le même point M. Mais ce 

 point M par la conftru&ion divifera la ligne des cen- 

 tres dans la raifon des nombres du pignon 6c de la 

 roue. Donc fi la face de l'aile efl une ligne droite 

 tendante au centre , & celle de la dent un epicycloï- 

 de décrite par un cercle qui a pour diamètre le raiyon 

 du pignon , & qui fe meut fur la circonférence de 

 la roue en-dehors , la roue mènera le pignon unifor- 

 mément, puifqu'aîors les perpendiculaires à l'aile 

 du pignon & à la face de la dent dans tous les points 

 où elles fe toucheront fe confondront , & parleront 

 toujours par un même point M dans la ligne des cen- 

 tres, qui divife cette ligne félon les conditions re- 

 quifes. 



Il efl facile de voir que cette démonftration s'é- 

 tend à toutes fortes d'épicycloïdes ; c'eft-à-dire qu'- 

 une roue mènera fon pignon toujours uniformément^ 

 fi les faces de fes ailes font des épicycloïdes quelcon- 

 ques engendrées par un point d'un cercle qui roule 

 au-dedans du pignon , & celles de la dent d'autres 

 épicycloïdes engendrées par le même cercle roulant 

 fur la circonférence de la roue. L'acfion de la roue 

 pour faire tourner le pignon étant toujours unifor- 

 me , il eft clair en renverfant que l'aclrion du pignon 

 . pour faire tourner la roue le fera aufîi. Car fi dans 



