r.) 



936 D I F 



ports. Aufli cet illuftre auteur n'a-t-ii jamais difTé- 

 rentié des quantités , mais feulement des équations ; 

 parce que toute équation renferme un rapport en- 

 tre deux variables , & que la difFérentiation des équa- 

 tions ne confifte qu'à trouver les limites du rapport 

 entre les différences finies des deux variables que l'é- 

 quation renferme. C'eft ce qu'il faut éclaircir par 

 un exemple qui nous donnera tout à la fois l'idée 

 la plus nette & la démonstration la plus exa&e de 

 la méthode du calcul différentiel. 



Soit A M(fig- 3. analyff) une parabole ordinai- 

 re, dont l'équation , en nommant A P , x , P M, y, 

 & a le paramètre , eft y y = a x. On propofe de ti- 

 rer la tangente M Q de cette parabole au point M. 

 Suppofons que le problème foit réfolu , & imagi- 

 nons une ordonnée p m à une diftance quelconque 

 /mie de P M; & par les points M, m , tirons la li- 

 gne m M R. Il eft évident, i°. que le rapport -5-^ 

 de l'ordonnée à la foûtangente, eft plus grand que 

 le rapport ^ ou ^ , qui lui eft égal à caufe des 



triangles femblables MO m, MP R: 2 0 . que plus 

 le point m fera proche du point M, plus le point R 

 fera près du point Q , plus par conséquent le rapport 

 ~ ou ~ Q approchera du rapport ~g ; & que le pre- 

 mier de ces rapports pourra approcher du fécond 

 suffi près qu'on voudra , puifque P R peut différer 

 auffi peu qu'on voudra de P Q_. Donc le rapport ^ 

 eft la limite du rapport de m O à O M. Donc fi on 

 peut trouver la limite du rapport de m O à O M, ex- 

 primée algébriquement , on aura l'exprefîion algé- 

 brique du rapport de M P à P Q ; & par conféquent 

 l'exprefTion algébrique du rapport de l'ordonnée à la 

 foûtangente , ce qui fera trouver cette foûtangente. 

 Soit donc MO =-u, O m — ^on aura a x —y y, & 

 a x-\- a u=zyy -f- 2 y £ + 1 {. Donc à caufe àeax 

 *zyy, il vient au =2 y £-f = rjV c - 



Donc a a + ■ eft en général le rapport de m 0 à 



O M , quelque part que l'on prenne le point m. Ce 

 rapport eft toujours plus petit que £ ; mais plus 1 



fera petit , plus ce rapport augmentera ; & comme 

 on peut prendre £ fi petit qu'on voudra , on pourra 



approcher le rapport ^y— auffi près qu'on voudra 



du rapport ~ ; donc ^ eft la limite du rapport de 



c'eft-à-dire du rapport . Donc ~ eft 



égal à que nous avons trouvé être aufïï la li- 

 mite du rapport de m O à O M; car deux grandeurs 

 qui font la limite d'une même grandeur , font nécef- 

 fairement égales entr'elles. Pour le prouver , foient 

 Z&Xles limites d'une même quantité Y > je dis 



?ue X— Z ; car s'il y avoit entr'elles quelque dif- 

 férence V 9 foit X=. Z + V: par l'hypothefe la quan- 

 tité Fpeut approcher de Xaufîi près qu'on voudra ; 

 c'eft-à-dire que la différence de Y&c de X peut être 

 aufîi petite qu'on voudra. Donc , puifque Z diffère 

 de Xde la quantité V y il s'enfuit que Y ne peut ap- 

 procher de Z de plus près que de la quantité V , &c 

 par conféquent que Z n'cft pas la limite de Y, ce 

 qui eft contre rhypothèfe. Voy. Limite, Exhaus- 

 tion. 



De-là il réfulte que eft égal à j| ? Donc P Q 

 = =r 2 x. Or, fuivant la méthode du calcul dif- 



a 7 



féreraul, le rapport de M P à P Q eft égal à celui de 

 dy à <fx ;& l'équation # x—yy donneadxzz iy dy 



Se 7^=—. Ainfi p eft la limite du rapport de {à 



u ; & cette limite fe trouve en faifant { = o dans la 

 fraftion Mais , dira-t-on , ne faut-il pas faire 



auffi z — o&cu^zo, dans la fraction - = ~ , & 



alors on aura °- = ~ y } Qu'eft-ce que cela fignifie ? 

 Je réponds , i°. qu'il n'y a en cela aucune abfurdité; 

 car °- peut être égal à tout ce qu'on veut : ainfi il 



peut être ~ y . Je réponds, 2 0 . que quoique la limite 



du rapport de 1 à « fe trouve quand ^ =o&k = <?, 

 cette limite n'eft pas proprement le rapport de { = 

 oà«=o, car cela ne préfente point d'idée nette ; 

 on ne fait plus ce que c'eft qu'un rapport dont les 

 deux termes font nuls l'un & l'autre. Cette limite eft 



la quantité dont le rapport approche de plus en plus 



en fuppofant 1 & u tous deux réels & décroiffans , 



& dont ce rapport approche d'auffi près qu'on vou- 

 dra. Rien n'eft plus clair que cette idée ; on peut 

 l'appliquer à une infinité d'autres cas. Voyt^ Limi- 

 te, Série , Progression, &c. 



Suivant la méthode de différentier , qui eft à îa 

 tête du traité de la quadrature des courbes de M. 

 Newton , ce grand géomètre , au lieu de l'équation 

 ax-\-au —yy + zy l -f- 1 { •> auroit écrit a x -f- a o' 

 ~yy + zy 0 o o , regardant ainfi en quelque ma- 

 niereç & u comme des zéros ; ce qui lui auroit donné 



j, = . On doit fentir par tout ce que nous avons 



dit plus haut l'avantage & les inconvéniens de cette 

 dénomination : l'avantage , en ce que 1 étant = o 

 difparoît fans aucune autre fuppofition du rapport 

 ■^y— ; l'inconvénient, en ce que les deux termes du 



rapport font cenfés zéros : ce qui au premier coup- 

 d'ceil ne préfente pas une idée bien nette. 



On voit donc par tout ce que nous venons de dire 

 que la méthode du calcul différentiel nous donne 

 exactement le même rapport que vient de nous don- 

 ner le calcul précédent. Il en fera de même des au- 

 tres exemples plus compliqués. Celui-ci nous paroît 

 fuftire pour faire entendre aux commençans la vraie 

 métaphyfique du calcul différentiel. Quand une fois 

 on l'aura bien comprife , on fentira que la fuppofi- 

 tion que l'on y fait de quantités infiniment petites , 

 n'eft que pour abréger & Amplifier les raifonnemens; 

 mais que dans le fond le calcul différentiel ne fuppofe 

 point néceffairement l'exiftence de ces quantités ; 

 que ce calcul ne confifte qu'à déterminer algébrique- 

 ment la limite d'un rapport de laquelle on a déjà Uex~ 

 preffion en lignes , & à égaler ces deux limites , ce qui 

 fait trouver une des lignes que Von cherche. Cette défi- 

 nition eft peut-être la plus précife & la plus nette 

 qu'on puiffe donner du calcul différentiel; mais elle 

 ne peut être bien entendue que quand on fe fera 

 rendu ce calcul familier ; parce que fouvent la vraie 

 définition d'une feience ne peut être bien fenfible 

 qu'à ceux qui ont étudié la feience. Voye^ le Difc. 

 prélimin. page xxxvij. 



Dans l'exemple précédent, la limite géométrique 

 Se connue du rapport de 1 à u eft le rapport de l'or- 

 donnée à la foûtangente ; on cherche par le calcul 

 différentiel la limite algébrique du rapport de { à u ? 

 & on trouve — * . Donc nommant s la foûtangente , 

 on a - — — : donc s = — = 2 x. Cet exemple fur- 



^ 2. y ™ . 



fit pour entendre les autres. Il fiiffira donc de fe ren- 

 dre bien familier dans l'exemple ci -défais des tan- 

 gentes de la parabole ; & comme tout le calcul diffé-, 

 rentid peut fe réduire au problème des tangentes , il 

 s'enfuit que l'on pourra toujours appliquer les prin- 

 cipes précédens aux différens problèmes que l'on 



