Tefout par ce calcul , comme l'invention <3es maxi- 

 ma & m'mima , des points d'inflexion & de rebrouf- 

 fement , &c. Voyez ces mots. 



Qu'eft-ce en effet que trouver un maximum ou un 

 minimum? C'eft , dit - on , faire la différence âedy 

 égale à zéro ou à l'infini ; mais pour parler plus exac- 

 tement , c'eft chercher la quantité — qui exprime la 



limite du rapport de d y fini à d x fini , & faire en- 

 fuite cette quantité nulle ou infinie. Voilà tout le my- 

 ftere expliqué. Ce n'eft point dy qu'on fait == à l'in- 

 fini : cela feroit abfurde ; caxdy étant prife pour infi- 

 niment petite , ne peut être infinie ; c'eft ^ : c'eft- 

 à-dire qu'on cherche la valeur de x qui rend infinie 

 la limite du rapport de dy fini à d x fini. 



On a vu plus haut qu'il n'y a point proprement de 

 quantités infiniment petites du premier ordre dans le 

 calcul différentiel ; que les quantités qu'on nomme 

 ainfi y font cenfées divifées par d'autres quantités 

 cenfées infiniment petites , & que dans cet état elles 

 marquent non des quantités infiniment petites , ni 

 même des fractions, dont le numérateur & le déno- 

 minateur font infiniment petits , mais la limite d'un 

 rapport de deux quantités finies. Il en efl de même 

 des différences fécondes , & des autres d'un ordre 

 plus élevé. Il n'y a point en Géométrie de d dy vé- 

 ritable; mais Iorfque ddy fe rencontre dans une 

 équation , il efl cenfé divifé par une quantité d x % , 

 ou autre du même ordre : en cet état qu'eft-ce que 



} c'eft. la limite du rapport d -~ x , divifée par d x ; 



ou ce qui fera plus clair encore , c'eft , en faifant la 

 quantité finie — = la limite de 



Le calcul differentio-d'fférentiel eft la méthode de 

 différentier les grandeurs différentielles ; & on appelle 

 quantité differentio-différentielle la différentielle d'une 

 différentielle. 



Comme le caractère d'une différentielle eft la lettre 

 d, celui de la différentielle de d x eft d d x; & la dif- 

 férentielle de d dx eft dddx y ou d x x , d* x 9 ôcc. 



ou x , x , &c. au lieu de d dy, d^ x , &c. 



La différentielle d'une quantité finie ordinaire s'ap- 

 pelle une différentielle du premier degré ou du pre- 

 mier ordre, comme dx. 



Différentielle du fécond degré ou du fécond or- 

 dre , qu'on appelle aufîi , comme on vient de le voir , 

 quantité differentio-différentielle , eft la partie infini- 

 ment petite d'une quantité différentielle du premier 

 degré, comme dd x , dxdx , oudx z , dx dy,6>Cc. 



Différentielle du troifieme degré , eft la partie in- 

 finiment petite d'une quantité différentielle du fécond 

 degré, comme dddx,dx^ 9 d x dy d {, & ainfi de 

 fuite. 



Les différentielles du premier ordre s'appellent en- 

 core différences premières; celles du fécond , différences 

 fécondes ; celles du troifieme , différences troifiemes. 



La puiffance féconde d x z d'une différentielle du 

 premier ordre , eft une quantité infiniment petite du 

 fécond ordre ; car d x % : dx : : d x . i ; donc d x x eft 

 cenfée infiniment petite par rapport à dx ; de même 

 on trouvera que d x^ ou dx 7 - dy, eft infiniment pe- 

 tite du troifieme ordre , &c. Nous parlons ici de 

 quantités infiniment petites , & nous en avons parlé 

 plus haut dans cet article , pour nous conformer au 

 langage ordinaire ; car par ce que nous avons déjà 

 dit de la métaphyfîque du calcul différentiel, & par 

 ce que nous allons encore en dire , on verra que 

 cette façon déparier n'eft qu'une exprefîion abrégée 

 & obfcure en apparence , d'une chofe très-claire & 

 très-fimple. 



Les puiffances différentielles, comme d x % , fe diffé- 

 rentient de la même manière que les puiffances des 

 quantités ordinaires* Et comme les différmtidks çom- 

 Toms iy\ 



pofees fe multiplient ou fe divifent Tune Feutre >oit 

 font des puiffances des différentielles du premier de- 

 gré , ces différentielles fe différentient de même que 

 les grandeurs ordinaires. Ainfi. la différence de dx m 

 cûm(d x) 7K ~ l d dx, & ainfi des autres. C'eft: 

 pourquoi le calcul differentio-différemiel eft le même 

 au fond que ie calcul différentiel. 



Un auteur célèbre de nos jours dit dans la pré* 

 face d'un ouvrage fur la Géométrie dt V infini , qu'il 

 n'avoit point trouvé de géomètre qui pût expliquer 

 précifément ce que c'eft que la différence de ^/de- 

 venue égale à l'infini dans certains points d'inflexion* 

 Rien n'eft cependant plus fimple ; au point d'infle- 

 xion la quantité ~ e ft un maximum ou un minimum £ 



donc la différence divifée par d x eft = o ou r= à l'in- 

 fini. Donc , en regardant d x comme confiant, on a 

 la quantité ^ = à zéro ou à 1* infini ; cette quan-; 



tité n'eft point une quantité infiniment petite , c'eft 

 une quantité qui eft néceffairement ou finie , ou 

 infinie , ou zéro , parce que le numérateur ddy 

 qui eft infiniment petit du fécond ordre , eft divife 

 par d x 1 , qui eft aufîi du fécond ordre. Pour abré- 

 ger, on dit que ddy eft = à l'infini; mais d d y 

 eft cenfée multipliée par la quantité ~ . ce qur 

 fait difparoître tout le myftere. En général ddy=x 

 à l'infini ne fignifie autre chofe que ^~=k l'infini ; 

 or dans cette équation oh il n'entre point de diffé- 

 rentielle ; par exemple foit y ss j^L^ ; on aura dyzz 



+ ï~l^^ d fy = ~:JJy=kVmûnln>eûa^ 

 tre chofe que ^ = à l'infini , c'eft-à-dire ^rj^ =* 

 à l'infini, ce qui arrive quand x = a; on voit qu'il 

 n'entre point de différentielle dans la quantité -r~^°~jz ^ 



qui repréfente ^{ ou la limite de la limite de 



x d x 



On fupprime le d x 1 pour abréger; mais il n'en efl 

 pas moins cenfé exiftant. C'eft ainfi qu'on fe fert 

 fouvent dans les Sciences de manières de parler abré- 

 gées qui peuvent induire en erreur, quand on n'ert 

 entend pas le véritable fens. Voye^ Elémens. 



Il réfulte de tout ce que nous avons dit , i°. que 

 dans le calcul différentiel les quantités qu'on néglige,*' 

 font négligées , non comme on le dit d'ordinaire , par- 

 ce qu'elles font infiniment petites par rapport à celles 

 qu'on laiffe fubfifter, ce qui ne produit qu'une erreur 

 infiniment petite ou nulle ; mais parce qu'elles doi- 

 vent être négligées pour l'exactitude rigoureufe. Ont, 

 a vû en effet ci-deffus que eft la vraie & exacte 

 valeur de ; ainfi en différentiant a x =y y, c'eft: 

 2 y dy, & non zy dy + d y 1 qu'il faut prendre pour 

 la différentielle dey 2 , afin d'avoir, comme on le doity 

 5j — ~', 2. 0 . H ne s'agit point , comme on le dit en-» 



core ordinairement , de quantités infiniment petites 

 dans le calcul différentiel; il s'agit uniquement de limi- 

 tes de quantités finies. Ainfi la métaphyfîque de l'infi- 

 ni & des quantités infiniment petites plus grandes oit 

 plus petites les unes que les autres, eft totaiementinu- 

 tile au calcul différentiel. On ne fe fert du terme 8 infi- 

 niment petit , que pour abréger les exprefîions. Nous 

 ne dirons donc pas avec bien des géomètres qu'une 

 quantité eft infiniment petite , non avant qu'elle s'é- 

 vanoiiiffe, non après qu'elle eft évanouie, mais dans 

 l'inftant même où elle s'évanouit ; car que veut dire 

 une définition fi fauffe , cent fois plus obfcure que 

 ce qu'on veut définir ? Nous dirons qu'il n'y a point 

 dans le calcul différentiel de quantités infiniment pe- 

 tites, Au rcfte nous parlerons plus au long à V article. 



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