988 D I F 



luFitfi de la métaphyuque de ces quantités. Ceux 

 qui liront avec attention ce que nous venons de dire, 

 & qui y joindront l'ufage du calcul & les réflexions, 

 n'auront plus aucune difficulté fur aucun cas, & trou- 

 veront facilement des réponfes aux objeaions de 

 Rolle ôcdes autres adverfaires du calcul différentiel 9 

 fuppofé qu'il lui en refte encore. Il faut avouer que 

 fi ce calcul a eu des ennemis dans fa naiffance , c'eft 

 la faute des oéomeîres fes partifans , dont les uns 

 l'ont mai compris, les autres l'ont trop peu expli- 

 qué. Mais les inventeurs cherchent à mettre le plus 

 de myftere qu'ils peuvent dans leurs découvertes ; 

 & en crénéral les hommes ne haïffent point l'obfcu- 

 rité , pourvu qu'il en réfulte quelque chofe de mer- 

 veilleux. Charlatanerie que tout cela 1 La vérité eft 

 impie, & peut être toujours mife à portée de tout 

 le monde , quand on veut en prendre ta peine. 



Nous ferons ici au fujet des quantités différentielles 

 du fécond ordre , & autres plus élevées , une remar- 

 que qui fera très-utile aux commançans. On trouve 

 dans les mém. de Vacad. des Sciences de îyn , & dans 

 le /. tome des œuvres de M.Jean Bernoulli, un mé- 

 moire où l'on remarque avec raifon que Newton s'eft 

 trompé , quand il a crû que la diftérence féconde 



de i n , en fuppofant d^ confiante , eft — 



au lieu quelle eft n. ( n- 1) d g , comme il 

 réfulte des règles énoncées ci-deffus , & conformes 

 aux principes ordinaires du calcul différentiel. C'eft 

 à quoi il faut prendre bien garde \ &c ceci nous don- 

 nera encore occafion d'infifter fur la différence des 

 courbes polygones & des courbes rigoureufes, dont 

 nous avons déjà parlé aux art. Central & Cour- 

 be. Soit, par exemple, y s= l'équation d'une 

 parabole: fuppofons dx confiant, c'eft-à-dire tous 

 les d x égaux , on trouvera que x+dx donne pour 

 l'ordonnée correfpondante exaae, que j'appelle y 1 , 

 x 1 + 2 x d x + d x 1 , & que x -f 2 d x donne l'or- 

 donnée correfpondante que je nomme y", exafte- 

 xnent égale à x 1 + 4 x d x + $d x 2 ; donc xx dx 

 -+dx 2 eft l'excès de la féconde ordonnée fur la pre- 

 mière , & 2 x d x 2 -f 3 d x 2 eft l'excès de la troifie- 

 me fur la féconde : la différence de ces deux excès 

 eft 2 d x z ; & c'eft le d dy, tel que le donne le cal- 

 cul différentiel. Or fi par l'extrémité de la féconde or- 

 donnée on tiroit une tangente qui vînt couper la 

 troifieme ordonnée , on trouverait que cette tan- 

 gente diviferoit le d d y en deux parties égales , dont 

 chacune feroit par conféquent d x 2 ou C'eft 



cette moitié du ddy vrai que M. Newton a prife pour 

 le vrai ddy entier; & voici ce qui peut avoir occa- 

 fionné cette méprife. Le ddy véritable fe trouve par 

 le moyen de la tangente confidérée comme fécante 

 dans la courbe rigoureufe ; car en faifant les d x con- 

 ftans , & regardant la courbe comme polygone , le 

 ddy fera donné par le prolongement d'un des côtés 

 de la courbe , julqu'à ce que ce côté rencontre l'or- 

 donnée infiniment proche auffi prolongée. Or la tan- 

 gente rigoureufe dans la courbe rigoureufe étant pro- 

 longée de même , donne la moitié de ce ddy ;&M. 

 Newton a crû que cette moitié du ddy exprimoit le 

 ddy véritable, parce qu'elle étoit formée par la fou- 

 tangente ; ainfi il a confondu la courbe polygone 

 avec la rigoureufe. Une figure très-fimple fera enten- 

 dre aifémenttoutcelaà ceux qui font un peu exercés 

 à la géométrie des courbes & au calcul différentiel. V . 

 Courbe polygone au mot Courbe , Vhiftoin de 

 Vacad. des Scienc. de iyx-x , & mon traité de Dynami- 

 que , /. partie , à l'article des forces centrales. 



Equation différentielle, eft celle qui con- 

 tient des quantités différentielles. On. l'appelle du pre- 

 mier ordre , fi les différentielles font du premier or- 

 dre 5 du fécond, fi elles font du fécond, &c t 



D I F 



Les équations différentielles à deux variables ap* 

 partiennent aux courbes méchaniques ; c'eft en quoi 

 ces courbes différent des géométriques. On trouvera 

 leur conftruaion au mot Courbe. Mais cette conf- 

 truaion fuppofe que les indéterminées y foient fé- 

 parées; & c'eft l'objet du calcul intégral. Foye^ In- 

 tégral. 



Dans les équations différentielles du fécond ordre, 

 ohdx, par exemple, eft fuppofé confiant , fi on 

 Yeut qu'il ne foit plus confiant , on n'a qu'à divifer 



tout par d x ; èc enfuite au lieu de d -~ , mettre d.. 



/ d y \ ddy dy ddx 0- ' ^' \ 



\ dx ) ou 4 — d^~ 9 ^ au équation ou 



rien ne fera confiant. Cette règle eft expliquée dans 

 pkifieurs ouvrages , & fur-tout dans la féconde partie 

 du traité du calcul intégral de M. de Bougainvilie, 

 qui ne tardera pas à paroître. En attendant on peut 

 avoir recours aux œuvres de Jean Bernoulli , t. IV* 



page y y ; & on peut remarquer que , en fuppo- 

 fant d x confiant , eft la même chofe que d Ç ^Q, en, 



fuppofant dx confiant : or ~£ eft le même , foit qu'on 

 prenne dx confiant , foit qu'on le fafîe variable. Car 

 y demeurant la même , j*- ne change point , pour- 



vû que dx foit infiniment petite. Pour le bien voir & 

 on n'a qu'à fuppofer d y=z ^d x ou — ^ = ^ , on aura 



d 1 au lieu de ^ dans l'équation ; or ce d ç eft la mê- 

 me chofe que d ( ~ x ) , fans fuppofer rien de conf«= 



tant. Donc, &c. 



Il me refte à parler de la différentiation des quan> ; 

 tités fous le figne f. Par exemple , on propofe de dif- 

 férentier f A dx,enne faifant varier que y, A étant 

 une fonaion de x & de y : cette différence eft d y 



dx,^y étant le coefficient de dy dans la diffU 



rentielle de A. On trouvera la méthode expliquée 

 dans les mém. de Vacad. de iyq.0 , page ^.^G , d'après 

 un mémoire de M. Nicolas Bernoulli ; & cette mé- 

 thode fera détaillée dans l'ouvrage de M. de Bou- 

 gainvilie. Je paffe légèrement fur ces objets qui font 

 traités ailleurs , pour venir à la queftion , deî'inven^ 

 teur du calcul différentiel. 



Il eft confiant que Leibnitz l'a publié le premier 5 

 il paroît qu'on convient aujourd'hui affez générale- 

 ment que Newton l'avoit trouvé auparavant : refte? 

 à fa voir fi Leibnitz l'a pris de Newton. Les pièces d© 

 ce grand procès fe trouvent dans le commercium epif 

 tolicum de analyfî prornotâ , lyrz, Londini. On y rapu 

 porte une lettre de Newton du 10 Décembre 1672, 

 qu'on prétend avoir été connue de Leibnitz , & qui 

 renferme la manière de trouver les tangentes des 

 courbes. Mais cette méthode , dans la lettre citée, 

 n'eft appliquée qu'aux courbes dont les équations 

 n'ont point de radicaux ; elle ne contient point le 

 calcul différentiel, <k n'eft autre chofe que la métho- 

 de de Barrow pour les tangentes un peu fimplifiée. 

 Newton dit à la vérité dans cette lettre , que par 

 fa méthode il trouve les tangentes de toutes fortes 

 de courbes, géométriques , méchaniques, foit qu'il 

 y ait des radicaux , ou qu'il n'y en ait pas dans i'é- 

 quation. Mais il fe contente de le dire. Ainfi quand 

 Leibnitz auroit vû cette lettre de 1672, il n'a u- 

 roit point pris à Newton le calcul différentiel; il l'an- 

 roit pris tout au plus à Barrow; & en ce cas ce ne 

 feroit, ni Newton, ni Leibnitz, ce feroit Barrow 

 qui auroit trouvé le calcul différentiel^ En effet , 

 pour le dire en paffant , le calcul différentiel n'eft au- 

 tre chofe que la méthode de Barrow pour les tangen- 

 tes , généralifée. Voye^ cette méthode de Barrow pour 

 les tangentes , expliquée dans fes lecliones geometricœ, 

 6c à la fin du VJivn des fêtions çotiianes de M, de 



