On dira — divifé par — - — 4- 9 enfuite 24 divifé par 

 8 = 3; enfin c^ d 4 t divifé par c 2 d* t=z c d: enlor- 

 te que le quotient de cette divifion eft -f- 3 c d; car 

 le divifeur — $ c 2 d^ t multiplié par le quotient + 

 3 cd , redonne le dividende — 24 d d 4 t. 



On exprime auffi quelquefois une divifion algébri- 

 que en forme de fraction ; ainfi abc divifé par a c 

 s'écrit = b , en ôtant ce qui fe détruit , c'eft-à- 



dire en fupprimant les lettres communes au numé- 

 rateur & au dénominateur. 



Quoiqu'il foit vrai en général que l'on doive fup- 

 primer les lettres communes au dividende & au di- 

 vifeur, il ne faut pourtant pas fe perfuader que ~ 



= o ; car le quotient de cette divifion = 1 . Toutes 

 les lettres difparoiffent véritablement , ainfi que le 

 prefcrit la régie ; mais il faut toujours fuppofer qu'- 

 une grandeur algébrique eft précédée du coefficient 



• /'abc i a b c 



1 : ainh —7- = 7 



' abc 1 



abc la b c' 



En effet divifer abc par abc, c'eft déterminer 

 combien de fois ab c eft contenu dans abc. Or toute 

 grandeur eft contenue une fois dans elle-même ; ainfi 

 = 1 ; donc en générai une quantité quelconque 



divifée par elle-même donne toujours 1 au quotient. 



On indique encore plus volontiers la divifion al- 

 gébrique fous la forme d'une fraction, quand le di- 

 vidende & le divifeur n'ont rien de commun , ou 

 qu'ils ont feulement quelques quantités communes. 

 Ainfi 3 a c divifé par 5 b s = ; de même 6 d t à 



- — * en chaflant 



6dt 



divifer par 4 d s = ^ = 



la quantité 2 d , qui eft un produifant ou un com- 

 mun fadeur au dividende & au divifeur. 



Pour divifer le polynôme ya b 2 — 1 j a 2 b -\- 6 a^ 

 par — 3 a b -\- z a 2 , on. arrangera les termes , com- 

 me on le voit dans l'opération, félon les degrés de 

 !a lettre a qui paroît dominer. 

 Opération. 



6 a* — 15 a 7, b + 9 bb 2 

 — 6 a"* -f- y a 2 b 



! * - 6 a 1 b +<)ab % 

 -f- 6 a 2 b — 9 ab 2 



j~ 2/J 1 - 3 û^. 



I 3« - 3 *• 



Et divifant le premier terme 6 <z ? du dividende par 

 le premier terme 2 a 2 du divifeur, on écrit 3 a au 

 quotient, par lequel on multiplie tout le divifeur. Le 

 produit qui en réfulte eft retranché du dividende , 

 &1 'on continue à divifer le refte , après avoir des- 

 cendu le terme 9 a b 2 du dividende , le quotient to- 

 tal doit être 3 a — 3 b : ce que l'on vérifiera en mul- 

 tipliant ce quotient par le divifeur 2 a 2 — 3a b , dont 

 le produit doit redonner le dividende. 



S'il s'agit de divifer 8 c x* -f- 15 b d s — \ob dx — 

 il c s x — 1 t g par 4 c x — b d; on ordonnera les 

 termes du dividende & du divifeur , fuivant les de- 

 grés de la lettre x. Comme il y a deux termes au di- 

 vidende où cette lettre eft élevée au même degré , 

 on pourra écrire ces deux termes l'un fous l'autre, 

 de même que les deux termes où la lettre d'origine 

 ne fe trouve pas. 

 Opération. 



8 c x 2 — 10 bdx-\-ijbdsC 4 ex — ^bd 



— lie s x — 3 t g 

 c x 2 -j- 10 b dx 



2 x 



3 s - 3 *g 



^cx—jbd 



* — 12 c s x-\-i jbds 

 -f- 12 c sx—i jbds 



* * ~~ 3 1 S' 



\ En divifant donc le premier terme 8 c * 2 du di- 

 vidende par le premier terme 4 ex du divifeur, le 



quotient eft 2* par lequel on multiplie tout le di- 

 vifeur, ce qui donne 8 c x 2 — 10 b dx, que l'on écrit 

 fous le dividende , en changeant les fignes de ce pro* 

 duit pour en faire la fouftraction ou la réduction , 

 comme on le voit exécuté dans l'opération : cette 

 réduction étant faite , on opère fur le refte ■— 1 2 c s x 

 -\~ il b d s — 3 t g, en divifant toujours le premier 

 terme — 12 c s x de ce refte par le premier terme 

 4 c x du divifeur , dont le quotient eft — 3 s , par 

 lequel on multiplie tout le divifeur pour en retran- 

 cher le produit de ce qui eft refté après la première 

 divifion , & l'on a un fécond refte - 3/ ^5 lequel 

 n'ayant point de facteurs communs avec le divi- 

 feur, fait voir que la divifion ne fauroit fe faire exa- 

 ctement : ainfi on le difpofera à la fuite du quotient, 

 au-deflus d'une petite ligne , fous laquelle on écrira 

 le divifeur. 



Pour la divifion par les logarithmes , voye^ Logà- 



RITHME. 



La divifion géométrique regarde les lignes droites, 

 & eft utile dans la conftruction des problèmes plans j 

 par exemple, un rectangle étant donné , ainfi qu'une 

 ligne droite , trouver une autre ligne droite telle que 

 le rectangle formé par cette ligne & la droite don- 

 née , foit égal au rectangle donné. 



On réfoud ces fortes de problèmes par la règle de 

 trois , en difant : la ligne donnée eft à un côté du 

 rectangle donné , comme l'autre côté de ce rectan- 

 gle eft à la ligne cherchée. 



C'eft ainfi que M. Defcartes explique le moyen 

 de faire une divifion géométrique avec la règle & 

 le compas. 



Suppofons que la ligne a c=6 (P/. de G cornet* 

 figure foit à divifer par la ligne ad—^. Prenez 

 un angle à volonté : portez enfuite le divifeur ad— 3 

 fur l'un des côtés de cet angle , en partant du fommet, 

 &C prenez tout de fuite fur le même côté a u = 1 ; 

 après cela portez fur l'autre côté de l'angle, en par- 

 tant toujours du fommet , le dividende a c — 6 , & 

 joignez les points d , c par la ligne de; après quoi 

 par le point u vous tirerez la ligne ub parallèlement 

 à de, laquelle déterminera la ligne ab, qui fera le 

 quotient cherché ; car à caufe des triangles fembla- 

 bles ad c , au b , vous aurez ad : a c il au : a b 



ab . 

 = = ab* 



ou a c 



adilab.au. Donc — 



a d 



ab 



Donc la ligne ab exprime la divifion de ac par ad; 

 puifque le dividende a c eft au divifeur a d, comme 

 le quotient a b eft à l'unité. (E) 



Dans la divifion , le dividende eft au divifeur com- 

 me le quotient eft à l'unité ; ou le dividende eft au 

 quotient , comme le divifeur eft à l'unité : c'eft-là la 

 vraie notion de la divifion , Se la plus générale qu'on 

 puifle en donner, comme on s'en convaincra par ce 

 que nous allons dire. Remarquons d'abord que ces 

 deux proportions qui paroifTent les mêmes , ne le 

 font cependant pas , abfolument parlant ; car le di- 

 vidende eft toujours cenfé un nombre concret (yoy. 

 Concret) ; &c le divifeur peut être ou un nombre 

 concret ou un nombre abftrait. Dans le premier 

 cas , le quotient fera un nombre abftrait, & c'eft la 

 première proportion qui a lieu. Par exemple , fi je 

 divife 6 fous (nombre concret) par 2 fous (nombre 

 concret) , le quotient eft un nombre abftrait 3, c'eft- 

 à-dire qui indique , non un nombre defous, mais le 

 nombre âefois que le dividende contient le divifeur 

 & on a cette proportion ; 6 fous eft à 2 fous, comme 

 le nombre abftrait 3 eft à l'unité abftraite 1 : on ne 

 pourroit pas dire 6 fous (dividende & nombre con- 

 cret) eft au quotient 3 (nombre abftrait) , comme 

 2 fous (divifeur & nombre concret) eft à 1 (nombre 

 abftrait) ; du moins cette proportion ne porterait 

 aucune idée nette dans l'efprit , parce qu'un nombre 

 concret ÔC un nombre abftrait étant de difterenj 



