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genres , ne peuvent être comparés , & qu'ainn il ne 

 peut y avoir entr'eux de rapport , du moins que 

 très-improprement. 



Dans le fécond cas, c'eft-à-dire lorfque le divi- 

 feur elt un nombre abflrait , le quotient elt un nom- 

 bre concret ; & c'eft la féconde proportion qui a 

 lieu : ainfi divifant 6 fous par 3 (nombre abflrait) , 

 le quotient elt 2 fous (nombre concret) , & l'on dit : 

 6 fous efl: à 2 fous (quotient) , comme 3 (divifeur) 

 elt à l'unité. Remarquez que dans les deux propor- 

 tions l'unité eft toujours un nombre abflrait ; ainfi 

 on peut préfenter la divijîon fous deux points de vue 

 différens : c'eft chercher combien de fois une quan- 

 tité efl contenue dans une autre de même genre , 

 comme dans le premier cas ; ou bien c'eft chercher 

 «ne quantité qui foit contenue un nombre de fois 

 donné , dans une quantité donnée du même genre. 



Nous nous fervons' ici du mot être, contenu , parce 

 que nous fuppofons jufqu'à préfent que le divifeur 

 foit plus petit que le dividende , & même que la di- 

 vijîon fe fane exactement & fans relie. Mais, i° fi 

 le divifeur efl: plus petit , &C que la divijîon ne fe 

 fafTe pas fans relie , la proportion entre le dividende, 

 le divifeur., le quotient & l'unité , proportion qui 

 conllitue la divijîon, n'en a pas moins lieu ; ainfi 

 dans l'exemple ci - delïïis , fuppofons qu'on divife 

 32035 par 469 toifes, le quotient 68 , indique 

 que 469 toifes font contenues dans 3203 5 , comme 

 l'unité efl contenue dans le nombre mixte 68 

 ; c'eft-à-dire que 409 toifes font contenues dans 

 32035 toifes, d'abord 68 fois entièrement, & qu'- 

 enfuite il y a un relie de toifes , qui elt au diviieur 

 469 toifes, comme le nombre abflrait 143 elt au 

 nombre abllrait469. Suppofons à-préfent qu'on di- 

 vife 32035 toifes, non par 469 toifes, mais par le 

 nombre abflrait 469 ; c'efl-à-dire qu'on cherche la 

 469 e partie de 32035 , le quotient 68 ||| indique 

 d'abord 68 toifes ; & que de plus fi on divife une 

 toife en 469 parties égales , & qu'on en prenne 143, 

 ces 143 parties ajoutées aux 68 toifes complètes, 

 donneront la 469 e partie exacte de 3 203 5 toifes. 



2 0 . Si le divifeur efl plus petit que le dividende, 

 alors le quotient (fuivant la proportion qui conlli- 

 tue la divijîon) fera plus petit que l'unité , ou qu'une 

 fraclion d'unité. Ainfi fi on divife 3 toifes par 1 2 

 toifes, c'elt chercher, non combien 3 toifes con- 

 tiennent , mais combien elles font contenues dans 

 1 2 toiles ; & le quotient \ marquera que 3 toifes 

 font un quart de 12 toifes. Si on divife 3 toifes par 

 12 , c'efl-à-dire fi on cherche la 1 2 e partie de 3 toi- 

 fes , on trouvera i-, c'efl-à-dire 1 quart de toife ; en 

 effet , 1 quart de toife pris 1 2 fois , fait 3 toifes. 



Si le divifeur efl: une fraclion plus petite que l'u- 

 nité , le quotient fera un nombre plus grand que le 

 dividende ; car alors le dividende doit être plus petit 

 que le quotient. Cela paroît d'abord paradoxe ; mais 

 en y réfléchiffant un peu , on obfervera que 11 le 

 quotient efl: plus petit que le dividende dans la plu- 

 part des divijîons ordinaires , c'eft que le divifeur y 

 cil plus grand que l'unité. Rendez le divifeur égal à 

 l'unité , le quotient fera égal au dividende ; rendez- 

 ïeplus petit , le quotient fera plus grand que le divi- 

 dende. Ainfi , qu'eft-ce que divifer 1 2 toifes par y ? 

 c'eft chercher un nombre de toifes qui foit à 1 2 toi- 

 fes comme l'unité elt à f , c'efl-à-dire comme 3 elt 

 à 1 : donc le quotient fera 1 2 toifes prifes trois fois, 

 c'efl-à-dire 36 toifes. De même divifer 12 toifes par 

 | de toife , c'eft chercher un nombre qui foit à l'u- 

 nité comme 1 2 toifes eft à ï de toife ; or 12 toifes 

 contiennent 36 fois 4- de toife, dont le quotient efl: 

 36. -C'elt ainfi qu'en réduifant les opérations à des 

 notions claires , toutes les difficultés s'évanouif- 

 fent. Il ne peut y en avoir ici, dès qu'on prendra la 

 potion générale de la divifon^ telle que nous l'avons 



donnée. Mais on fe trouvera embarrafle iorfqu'on fe 

 bornera à la notion imparfaite & incomplète de la 

 divijîon qu'on trouve dans la plupart des arithméti- 

 ciens ; favoir, que la divijîon confifte à chercher 

 combien de fois le divifeur eft contenu dans le di- 

 vidende. Nous parlerons plus au long au rnotYRAC- 

 TION, de la divijîon y dans le cas où le divifeur efl: 

 une fraclion, le dividende étant un nombre quel- 

 conque , entier ou rompu. 



Bornons-nous préfentement aux règles de la divi- 

 jîon ordinaire, & tâchons d'en donner en peu de 

 mots une idée bien nette. Nous prendrons pour 

 exemple celui même qui a été donné ci - deffus ; 

 & les raifonnemens que nous ferons fur celui-là, 

 pourront fans aucune peine s'appliquer à d'autres. 



On propofe de divifer 3 203 5 par 469 , c'efl-à-dire 

 de favoir combien de fois 469 efl contenu dans 

 32035. Je vois d'abord que le dividende contient 

 jufqu'à des dixaines de mille, & le divifeur des cen- 

 taines ; ainfi , comme dix mille contient cent fois 

 cent , il peut fe faire que le divifeur renferme des 

 centaines , mais il ne peut pas aller plus haut. Il 

 faut donc favoir combien de centaines de fois , de 

 dixaines de fois , & d'unités de fois il eft contenu, 

 Pour favoir combien de centaines de fois le divi- 

 dende contient le divifeur, je prends d'abord de la 

 gauche vers la droite autant de chiffres dans le divi- 

 dende que dans le divifeur , c'efl-à-dire que je prends 

 la partie du dividende 320 , qui repréfente réelle- 

 ment 3 2000 , en négligeant pour un moment les 

 deux derniers chiffres 3 5. Je divife 32000 par 469 , 

 pour voir combien 469 eft contenu de centaines de 

 fois dans 3 2000 : pour cela il fuffit de divifer 3 20 

 par 469 , & de remarquer que le chiffre qui viendra 

 exprimera , non des unités Amples , mais des cen- 

 taines d'unités. Mais je vois que 320 ne peut fe di- 

 vifer par 469 , ainfi le quotient ne doit point ren- 

 fermer de centaines. Il en auroit renfermé , fi au 

 lieu de 3 20 j'avois eu , par exemple , 5 20 , ou en 

 général un nombre égal ou plus grand que 469 ; car 

 alors on auroit eu au quotient au moins l'unité qui 

 auroit marqué une centaine d'unités. Je vois donc que 

 le quotient ne peut contenir que des dixaines d'unités j 

 mais il eft évident qu'il en contiendra nécefîaire- 

 ment , car dès que le dividende a deux chiffres de 

 plus que le divifeur , il efl néceflairement plus de dix 

 ibis plus grand : en effet, 469 pris dix fois , donne 

 4690 qui n'a que quatre chiffres , au lieu que 3203 f 

 en a cinq. Je cherche donc combien de dixaines de 

 fois 32035 contient 469 ; ou., ce qui efl la même 

 chofe, je cherche combien de fois 32030 contient 

 469 , en négligeant le nombre 5 pour un moment ; 

 ou , ce qui revient encore au même , je cherche 

 combien de fois 3203 contient 469 , en me fouve- 

 nant que le nombre que je trouverai au quotient , 

 donnera des dixaines d'unités: Or je remarque d'à* 

 bord que jamais 3203 ne peut contenir 469 plus de 

 fois, que le nombre 32 (qui efl formé des deux pre- 

 miers chiffres du dividende ) ne contient le premier 

 chiffré 4 du divifeur : car 3 2 contient 4 huit fois ; & 

 fi je mettois 9 , par exemple , au lieu de 8 , je trou- 

 verais en multipliant 9 par 469 , un nombre plus 

 grand que 3203 ; ce qui efl évident, puifque 4 fois 

 9 étant 36 , les deux premiers chiffres du nombre 

 égal à 9 fois 469 , feroient plus grands que les deux 

 premiers chiffres. 3 2 du nombre 3203 : ainfi il fuffit' 

 (& cette remarque elt évidemment applicable à 

 tous les cas) de divifer par le premier chiffre du di- 

 vifeur le premier chiffre du dividende , lorfque le 

 dividende a autant de chiffres que le divifeur ; ou 

 les deux premiers chiffres , lorfque le dividende a un 

 chiffre de plus. 



Ce n'eftpas à dire pour cela que cette opération 

 ne donne jamais trop ? on va voir k contraire \ mais 



il 



