il eft fur qu'elle ne donnera jamais trop peu , & voilà 

 pourquoi on fe contente de divifer les premiers chif- 

 fres du dividende par le premier du divifeur. Quand 

 la divijîon donne trop , comme dans ce cas-ci , ou 8 

 ferait trop fort , & même 7, on diminuera fuccefli- 

 vement le quotient jufqu'à ce qu'il ne foit pas trop 

 fort , ce qui arrivera en mettant 6 ; ce 6 , comme 

 nous l'avons vu, indique 60 , & le produit 28 14 eft. 

 réellement 28140 , qui eft retranché de 32030 : il 

 relie 389, qui eft réellement 3890; & le 5 qu'on 

 avoit mis à part , y étant ajouté , il refte en tout 

 3895 , qu'il, faut actuellement divifer par 469 : on 

 fuivra pour cela les mêmes principes que ci-deffus, 

 & on trouvera 8 , qui font huit unités. Ainfi on voit 

 que toutes les opérations qu'on fait dans la divijîon , 

 ne font autre chofe que les opérations qu'on vient 

 d'expliquer , & qui y font faites d'une manière abré- 

 gée ; car la divijîon faite tout au long & avec tout le 

 développement néceffairq , feroit 



32030 [ 469 



2-8140 6 o ou fix dixaines. 



Rejîe 3890 

 Ajout. 5 



3 7 5 2 \ 8 unités. 

 Rejle 1 4 3 Quotient 6 o 



6 8 



Dans la divijîon on fait implicitement toutes ces 

 opérations, en écrivant moins de chiffres. 



Quand on a pris dans le dividende autant de chif- 

 fres de gauche à droite qu'il y en a dans le divifeur, 

 ou un chiffre de plus, fi cela eft néceffaire,onvoitque 

 le quotient doit contenir autant de chiffres, plus un, 

 qu'il en' refte dans le dividende. Cela eft ailé à prou- 

 ver ; car foit, par exemple 523032 à divifer par 

 469 : après avoir pris 523 , qui a autant de chiffres 

 que 469 , il refte trois chiffres , 03 2 : or je dis que le 

 , quotient doit avoir trois chiffres plus un , ou quatre ; 

 car il eft clair que 523000 eft plus de mille fois plus 

 grand que 469, & moins de dix mille fois. En effet, 

 523000 eft mille fois plus grand que 523 , qui eft 

 plus grand que 469 ; & 523032 eft plus petit que 

 469 pris dix mille fois , parce que 4690000 a un 

 chiffre de plus. Donc le quotient doit contenir des 

 mille , & point de dixaines de mille : donc il doit 

 avoir quatre chiffres , ni plus ni moins. Si le divi- 

 dende étoit 1 523032 , alors prenant 1 523 , qui a un 

 chiffre de plus que 469 , on trouveroit de même que 

 le quotient avoit quatre chiffres , ni plus ni moins. 



C'eft pour cette raifon que l'on met quelquefois 

 au quotient, o. Par exemple , je fuppofe que l'on ait 

 à divifer 41 6 par 2 ; je vois que le quotient peut con- 

 tenir des centaines , des dixaines , & des unités. Je 

 divife donc d'abord 4 par 2 , fuivant la règle , & j'ai 

 2 ; & le produit 4 étant retranché de 2 , il refte o ; 

 c'eft-à-dire que j'ai divifé 400 par 2 , & j'ai eu 200 

 au produit : ce 2 marque donc des centaines. Je def- 

 cends 1 , ce qui eft la même chofe que fi je prenois 

 10 à divifer par 2 , en négligeant le 6 ; je vois que 10 

 ne peut pas contenir 2 des dixaines de fois : je mets 

 donc o au quotient , tant pour indiquer que 2 ne fe 

 trouve aucune dixaine de fois dans 416 , que pour 

 conferver au 2 , premier chiffre du quotient , la va- 

 leur de centaine. Enfuite je defeends 6 & je l'ajoûte 

 à 1 , ce qui eft la même chofe que fi je divifois iô 

 par 2 ; j'ai pour quotient 8 , & le quotient total eft 

 208 .On doit , par cet exemple , voir en général pour- 

 quoi on met o au quotient , quelquefois même plu- 

 fieurs fois de fuite , comme il arriveroit fi on divi- 

 foit 40016 par 2 ; le quotient feroit 20008. 



Enfin il nous refte à expliquer pourquoi on ne met 

 jamais au quotient plus de 9. Pour cela il fuffit de 

 Tome LK 9 



D I V 1081 



faire voir que jamais le divifeur n'eft égal à dix fois 

 la partie du dividende qu'on a prife ; ce qui eft aifé 

 à prouver. Car le divileur pris dix fois , augmente 

 d'un chiffre : or la partie du dividende qu'on a prife, 

 eft ou égale en nombre de chiffres au divifeur, ou 

 d'un chiffre de plus. Dans le premier cas , il eft vifi- 

 ble qu'elle eft plus petite que le divifeur pris dix fois, 

 puifqu'elle a un chiffre de moins. Dans le fécond , 

 le dividende diminué d'un chiffre vers la droite , eft 

 plus petit que le divifeur : donc le dividende avec 

 ce chiffre rétabli , eft plus petit que le divifeur pris 

 dix fois. 



En voilà ce me femble fuffffamment pour faire 

 entendre d'une manière fenfible les règles de la divi- 

 jîon , dont la plupart des arithméticiens paroifîent 

 avoir négligé les démonftrations. 



A l'égard des différentes manières de faire la divi- 

 jîon, nous n'entrerons point ici dans ce détail , parce 

 qu'à proprement parler elles reviennent toutes au 

 même ; elles ne^ différent qu'en ce que dans l'une le 

 quotient, le divifeur &c les produits font placés d'u- 

 ne façon , & dans une autre d'une façon différente : 

 on fe difpenfe aufïï quelquefois d'écrire les produits, 

 & on fait la fouftraction en formant le produit de 

 mémoire. Ainfi dans l'exemple ci-defïïis on peut 

 n'écrire point les produits 2184 & 3752, &on fera 

 fans cela la fouftraction , qui donnera les nombres 

 389 & 143 : voici comme on s'y prend. On dit: 6 

 fois 9 font 54 ; qui de 13 ôte 4, refte 9 & retiens 5 : 



6 fois 6 font 36 , & 5 font 41 ; qui de 9 ôte 1 , refte 

 8 & retiens 4 : 6 fois 4 font 24 , & 4 font 28 ; qui 

 de 3 1 ôte 28 , refte 3 : & ainfi des autres. Cette ma- 

 nière de faire la divijîon fans écrire les produits , & 

 en arrangeant les chiffres comme ci - défais , s'ap- 

 pelle Yitaiienne abrégée. Peu importe le nom qu'on lui 

 donnera ; mais il eft bon que les commençans , &c 

 ceux qui n'ont pas un ufage très-familier du calcul, 

 écrivent les produits , afin de ne fe pas tromper. 



Lorfque le dividende & le divifeur font l'un & 

 l'autre des nombres concrets , il faut diftinguer fi ce 

 font des nombres concrets de la même efpece , ou 

 de différentes efpeces. 



Premier cas. Si on a , par exemple , des livres ,' 

 des fous & des deniers à divifer par des livres , des 

 fous & des deniers , il faut réduire le dividende &C 

 le divifeur en deniers , c'eft-à-dire dans la plus pe- 

 tite monnoie : fi le divifeur ne contenoit pas de de- 

 niers , &c que le dividende en contînt , il faudrait 

 toujours réduire l'un & l'autre en deniers ; le quo- 

 tient indiqueroit combien le divifeur eft contenu 

 dans le dividende. En effet , fi on avoit , par exem- 

 ple , 1 livre à divifer par 1 2 deniers , c'eft-à-dire fi 

 on vouloit favoir combien de fois 12 deniers font 

 dans 1 livre , il faudrait réduire 1 livre en 240 de- 

 niers pour avoir le quotient 20 , & ainfi du refte. 



Second cas. Soit propofé de divifer, par exemple, 



7 toifes 2 piés par 1 livre 2 fous. Voilà un dividende 

 & un divileur qui font des nombres concrets de dif- 

 férentes efpeces. Voyons d'abord ce que lignifie cette 

 queftion. Si j'avois 60 toifes à divifer par 10 fous , 

 le quotient de 60 divifé par 10, c'eft-à-dire 6, m'in- 

 diquerait que 6 toifes valent 1 fou , c'eft-à-dire que 

 6 toifes d'ouvrage ou de marchandife valent 1 fou ; 

 or 7 toifes 2 piés font 44 piés , & 1 livre 2 fous font 

 22 fous : donc divifant 44 par 22 , je vois que 2 piés 

 d'ouvrage valent 1 fou : & ainfi du refte. 



A l'égard de la divijîon algébrique , elle n'a au- 

 cune difficulté , elle porte avec elle fa démon ft ra- 

 tion ; il y en a des exemples plus compliqués , qu'on 

 peut voir dans les auteurs d'Algèbre ordinaire. Il 

 faut avoir foin de bien arranger les termes du divi- 

 dende & du divifeur fuivant les dimenfions d'une 

 même lettre ; car c'eft de-là que dépend la facilité & 

 même la poffibilité de l'opération : car n on écri- 



X X X x x x 



