40 7. SOMOFF, 
М. Minding a démontré que toutes ces droites doivent traverser deux courbes, qui 
sont fixes dans le corps et qui se trouvent dans les plans nOË et СОЁ, savoir: une ellipse et 
une hyperbole, qui ont un centre commun en О et un axe commun OË, sur lequel sont situés 
les foyers des deux courbes de manière, que les foyers d’une des deux courbes représentent 
des sommets de l’autre. 
Pour démontrer ce théorème remarquable, cherchons les traces des rayons de la con- 
gruence (80) sur les plans yOË et ÉOË. Les traces sur le premier de ces plans doivent sa- 
tisfaire aux équations 
2 2 À 
о 7,20 MERE (81) 
et les traces sur le second plan aux équations 
Si les cosinus с, et 6, ne sont pas nuls, c.-a-d. si le rayon n’est parallèle ni au plan nOË, 
ni au plan СОЁ, оп doit avoir 
HAE 2 - 
ст Br И ed. (83) 
&2 e 
р == 22—02 А осо (84) 
Ces équations appartiennent à deux courbes du second degré qui ont un centre commun en 
О et un axe commun OË. Quand p>gq la courbe (83) est une hyperbole, dont l’excentricité 
est égale à р, et la courbe (84) est une ellipse, dont le grand axe est 2p. Dans le casdeg>p 
la courbe (83) est une ellipse, dont le grand axe est 24, et la courbe (84) une hyperbole, 
dont l’excentricité est 4. Ainsi, dans l’un et l’autre de ces deux cas, l’une des courbes a 
ses sommets aux foyers de l’autre. 
Si le rayon de la congruence (80) est parallèle au plan nOË, ou se trouve dans ce plan, 
on à €, = 0, ce qui réduit la première des équations (80) à 
a? b,? 2 
Cem 
et on satisfait à cette dernière en posant 
La première de ces suppositions est inadmissible quand 9 > р; on doit donc alors avoir 6 = 0; 
се qui prouve quele rayon considéré se trouve dans le plan nOË. Il rencontre l’hyperbole (84) 
en un point, dont les coordonnées sont € = 0, & = р c.-à-d. en un des sommets de 
CPE NN 
REN 
