■tité cherchée , on en approchera cependant toujours 

 de plus en plus. Les nombres que l'on vient de trou- 

 ver ainfi , & ceux que l'on peut trouver de la même 

 manière à l'infini, étant diipofés dans leur ordre na- 

 turel , font ce que Ton appelle une fine , ou une fuite 

 infinie ■: ainfi la/me i + \ — \ -f 77 &c. continuée à 

 l'infini , exprime la valeur de la racine quarrée de 2 ; 

 quelquefois les fuites ne procèdent pas par des addi- 

 tions & des fouftraûions alternatives , mais par de 

 fimples additions ou par une infinité de fouftractions ; 

 dans toutes les fuites infinies dont tous les termes pris 

 enfemble ne doivent être égaux qu'à une grandeur 

 ■finie , il eft vilible que leurs termes doivent aller 

 toujours en décroiffant ; il eft bon mpme , autant 

 qu'il eft pofiible , qu'elles foient telles que l'on en 

 puiffe prendre feulement un certain nombre des pre- 

 miers termes , pour la grandeur cherchée , & né- 

 gliger tout le relie. 



Mais ce ne font pas feulement les nombres irration- 

 nels que l'on peut exprimer en termes ration nels,par 

 des fuites infinies ;les nombres rationnels eux-mêmes, 

 font fufceptibles d'une femblable expreffion ; 1 , par 

 exemple , eft égal à la fuite ~ , £ , , &c ; mais il y 

 a cette différence , qu'au lieu que les nombres irra- 

 tionnels ne peuvent être exprimés en nombre ration- 

 nels que par ces fuites , les nombres rationnels n'ont 

 pas befoin de cette expreffion. 



Parmi les fuites infinies , il y en a quelques-unes 

 dont les termes ne font qu'une fomme finie ; telle 

 efl: la progreffion géométrique L 0 | , •§ , &c. & en 

 général toutes les progreffions géométriques décroif- 

 iantes : dans d'autres fuites , les termes font une fom- 

 me infinie ; telle efl la progreffion harmonique |, 

 -4, j , &c. Voyei Harmonique. Ce n'eft pas qu'il 

 y ait plus détenues dans la progreffion harmonique , 

 que dans la géométrique , quoique cette dernière 

 n'ait point de terme qui ne foit dans la première , & 

 qu'il lui en manque plufieurs que cette première con- 

 tient ; une pareille différence rendroit feulement les 

 deux tommes infinies , inégales ; & celle de la pro- 

 greffion harmonique , feroit la plus grande : la raifon 

 en efl: plus profonde ; de la divisibilité de l'étendue à 

 l'infini , il fuit que toute quantité finie , par exem- 

 ple un pié , eft compofée pour ainfi dire , de fini & 

 d'infini : de fini, entant que c'eft un pié ; d'infini, en- 

 tant qu'il contient une infinité de parties , dans lef- 

 quelles il peut être divifé : fi ces parties infinies font 

 conçues comme féparées l'une de l'autre , elles for- 

 meront une fuite infinie , & néanmoins leur fomme 

 ne fera qu'un pié : or c'eft ce qui arrive dans la fuite 

 géométrique \ , j , f, cyc.décroiflante : car il eft évi- 

 dent que fi vous prenez d'abord ~ pié , enfuite { ou 

 îa moitié de ce qui refte , c'eft-à-dire | de pié ; 6k puis 

 ~ , ou la moitié du refte , c'eft-à-dire , § de pié , vous 

 pouvez opérer fans fin , en prenant toujours de nou- 

 velles moitiés décroiflantes , qui , toutes enfemble 

 ne font qu'un pié. Quand on dit même que toutes 

 ces parties prifes enfemble font un pié, il ne faut pas 

 prendre cette expreffion à la rigueur, car elles ne fe- 

 raient un pié que dans la fuppolition que l'on eût 

 pris tous les termes de la fuite , &c cela ne fe peut , 

 puifque la fuite eft infinie; mais on peut prendre tant 

 de termes de la fuite qu'on veut , plus on en pren- 

 dra, plus on approchera de la valeur .d'un pié , & 

 quoiqu'on n'ait jamais le pié exactement , on pourra 

 en approcher aufïï près qu'on voudra : ainfi cette 

 fuite n'a pas proprement un pié pour la fomme , car 

 une fuite infinie n'a point de fomme proprement dite, 

 puifque fa fomme varie félon qu'on en prend plus ou 

 moins de termes , & qu'on ne peut jamais les prendre 

 tous ; mais ce qu'on appelle la fomme d'une fuite , c'eft 

 la limite de la fomme de fes différens termes , c'eft- 

 à-dire une quantité dont on approche auffiprès qu'oix 

 veut j en prenant toujours dans la fuite un nombre 



! de termes de plus en plus grand. Nous Croyons de- 

 voir faire cette remarque en pafîant, pour fixer l'i- 

 dée nette du mot de fomme d'une juite. Revenons à 

 préfent à notre fuite | , \ , | . 



Dans cet exemple nous ne prenons pas feulement 

 les parties qui étoie.nt dans le tout , diflinguées l'une 

 de l'autre , mais nous prenons tout ce qui y étoit ; 

 c'eft pourquoi il arrive que leur fomme redonne pré- 

 cifémentle tout ou la quantité entière ; mais fi nous 

 prenons la progreffion géométrique j , - , ~j, &c. 

 c'eft-à-dire , que nous prenions d'abord | de pié , &C 

 que du refte l'on en prenne J , & .que de ce dernier 

 refte l'on prenne encore ^ de pié , &c. il eft vrai 

 que nous ne prendrions que les parties qui font dif- ' 

 tin&es l'une de l'autre dans le pié ; mais nous ne pren- 

 drions pas toutes les parties qui y font contenues , 

 puifque nous n'y prenons que tous les tiers, qui font 

 plus petits que les moitiés; par conféquent , tous ces 

 tiers qui décroiflent , quoiqu'on nombre infini , ne 

 pourraient faire le tout ; & il eft même démontré 

 qu'ils ne feraient que la moitié d'un pié ; pareille- 

 ment tous les quarts , qui décroiflent à l'infini , ne 

 donneraient qu'un tiers pour fomme totale, & tous 

 les centièmes ne feraient qu'un quatre-vingt dix-neu- 

 vieme ; ainfi , non-feulement la fomme des termes 

 d'une fuite géométrique , dont les termes décroiflent 

 à l'infini , n'eft pas toujours une quantité finie ; elle 

 peut même être plus petite qu'une quantité finie 

 quelconque : car nous venons de voir comment on 

 peut former une fuite de quantités qui ne foient éga- 

 les qu'à 7 , y , \ , & on peut de même en former 

 qui ne foient égales qu'à f, ^fe.^,^ , 

 &c. & ainfi à l'infini. 



Si une fuite infinie décroiffante exprime des par- 

 ties qui ne puiffent pas fubfifter dans un tout fépa- 

 rément les unes des autres , mais qui foient telles 

 que pour exprimer leur valeur , il foit néceffaif e de 

 fuppofer la même quantité prife plufieurs fois dans 

 le même tout; alors la fomme de ces parties fera plus 

 grande que le toutfuppofé, & même pourra être in- 

 finiment plus grande, c'eft-à-dire , que la fomme fe- 

 ra infinie , fi la même quantité eft prife une infinité 

 de fois. Ainfi dans la progreffion harmonique |, 4- „ 

 &c. fi nous prenons | pié ou 6 pouces , enfuite \ de 

 pié ou 4 pouces , il eft évident que nous ne pouvons 

 plus prendre \ de pié outrais pouces, fans prendre 

 1 pouce au-deffus de ce qui refte dans le pié. Puis 

 donc que le tout eft déjà épuifé par la fomme des 

 trois premiers termes , l'on ne fauroit plus ajouter à 

 ces trois termes les termes fuivans , fans prendre 

 quelque chofe qui a déjà été pris ; & puifque ces 

 termes font infinis en nombre , il eft très-poflible que 

 la même quantité finie puiffe être répétée un nom- 

 bre infini de fois : ce qui rendra infinie la fomme de 

 la fuite. 



Nous difons poffibk ; car, quoique de deux fuites 

 infinies , l'une puiffe faire une fomme finie , & l'autre 

 une fomme infinie , il peut fe trouver une fuite où les 

 termes finis ayant épuifé le tout, les termes fuivans, 

 quoiqu'infinis en nombre , ne feront qu'une fomme 

 finie. 



De plus il eft nécefTaire de faire deux remarques 



Ifur les fériés en général. i°. 11 y a quelques fuites 

 dans lesquelles , après un certain nombre de termes, 

 tous les autres termes , quoiqu'infinis en nombre , 

 deviennent chacun égaux à zéro. Il eft évident que 

 la fomme de ces fuites eft une fomme finie , & qu'on 

 peut aifément la trouver. Soit , par exemple , la fuite 

 a m a 1 -{- m, m — \ a î -\-m. m— i.m—za 4J r 

 m. m — 1. m — 2. m — 3 .a 5 , &c. il eft évident que fi 

 on fait , par exemple , m — 3 , cette fuite fe termine- 

 ra au 4 e . terme. Car tous les autres devant être mul- 

 tipliés par m — 3 qui eft =0 à caufe de m — 3 , ces 

 termes feront néccllàirement chacun égaux à zéro , L 



