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ces fuites n'ayant qu'une apparence d'infinité. 



2°. Que la même grandeur peut être exprimée 

 par différentes fuites , qu'elle peut l'être par une fui- 

 te dont la fomme eft déterminable , & par une autre, 

 dont on ne fauroiî trouver la fomme. 



La géométrie n'eft pas fujette , dans l'expreffion 

 des grandeurs, à autant de difficultés que l'arithméti- 

 que : on y exprime exactement en lignes les nom- 

 bres irranonnels,&Fon n'a point befoifi d'y recourir 

 aux fuites infinies. Ainfi l'on fait que îa diagonale 

 d'un quarré , dont le côté eft i , exprime la racine 

 quarrée de 2. Mais en quelques autres cas , la géo- 

 métrie elle-même n'eft pas exempte de ces inconvé- 

 nient, parce qu'il y a quelques lignes droites que l'on 

 ne peut exprimer autrement que par une fuite infinie 

 de lignes plus' petites , dont la fomme ne peut être 

 déterminée : de cette efpece font les lignes droites 

 égales à des courbes non rectifiables ; en cherchant, 

 par exemple , une ligne droite égale à la circonféren- 

 ce d'un cercle , on trouve que le diamètre étant fup- 

 pofé 1 , la ligne cherchée fera | — f -f f — } + f , &c. 



f'bycçR.ECTl FICATION. 



Quant à l'invention d'une fuite infinie , qui expri- 

 me des quantités cherchées , Mercator , le premier 

 inventeur de cette méthode , fe fert pour cet effet de 

 îa divifion. Mais M. Newton & M. Léibnitz ont porté 

 cette théorie plus loin ; le premier , en trouvant les 

 fuites ^zx l'extraction des racines ; & le fécond, par 

 une autre fuite préfuppofée. 



Pour trouver, par le moyen de la divifion , une fuite 

 qui foit l'expreffion d'une quantité cherchée. Suppo- 

 îons qu'on demande une fuite qui exprime le quotient 

 de b divifé par a -f c , divifez le dividende par le divi- 

 four, comme dans l'algèbre ordinaire, en continuant 

 la divifion, jufqu'à ce que le quotient faffe voir l'or- 

 dre de la progreffion , ou la loi fuivant laquelle les 

 termes vont à l'infini ; obfervant toujours les règles 

 de la fouftracf ion , de la multiplication * de la divi- 

 fion , par rapport au changement des fignes. Quand 

 vous aurez pouffé cette opération jufqu'à un certain 

 point , vous trouverez que le quotient eft - — ~ 

 -j_ h ll — 9 &c. à l'infini. Ces quatre ou cinq ter- 

 mes étant ainfi trouvés , vous reconnoîtrez facile- 

 ment que le quotient confifte en une fuite infinie de 

 fractions. Les numérateurs de ces fractions font les 

 puiffanccs de c , dont les expofans font moindres 

 d'une unité que le nombre qui marque la place que 

 ces termes occupent , & les dénominateurs font les 

 puiffances de a , dont les expofans font égaux au nom- 

 bre qui marque la place de ces termes 2 par exemple, 

 dans le troifieme terme , la puiflance de c eft du fé- 

 cond degré dans le numérateur; & la puiffance de a 

 eft du troifieme degré dans le dénominateur. 



Par conféquent i°. fi b = 1 & a — 1 , en fubftituant 

 ces valeurs , nous aurons le quotient ci-deffus — 1 



— c -f c 2 — c> , &c. à l'infini : c'eft pourquoi ~ l — == 1 



— f -\- c 1 — c\ &c. à l'infini. 



2 0 . Donc fi. les termes qui font au quotient dé- 

 croiffent continuellement, la fuite donnera un quo- 

 tient auffi près du vrai qu'il eft poffibie. Par exemple , 

 fi £ = 1 , c=z ï 7 a = 2 , ces valeurs étant fubftituées 

 dans la fuite générale , & la divifion étant faite com- 

 me dans l'exemple général ci-deffus , on trouvera 



± = -^ = A- 1+ ^ + ^ ~ ^ + lis , &C.SMV- 

 pofons maintenant que la férié ou la fuite s'arrête au 

 quatrième terme , la fomme de cette fuite fera au- 

 deffous de la véritable ; mais il ne s'en faudra pas fg. 

 Si elle s'arrête au fixieme terme ^ elle fera encore 

 en-deffous , mais moins que de : c'eft pourquoi 

 plus on pouffera la férié ou la fuite , plus auffi on ap- 

 prochera de la véritable fomme , fans pourtant jamais 

 f arriver. 



R 91 



De la même manière , on trouve que | = 3 - 

 = j - 4 H- ïït F? + S* i » &c - à l'infini.... f f, 

 = i ~ 76 + ~ - \ , &c. à l'infini.... | = r L- = | 



— 17 ~T" ttt — 6~b > &' c ' à l'infini. Ce qui donne une 

 loi confiante, fuivant laquelle toutes les fractions, 

 dont le numérateur eft l'unité , peuvent être expri- 

 mées par des fuites infinies ; ces fuites étant toutes des 

 progreffions géométriques , qui décroiffent en telle 

 manière que le numérateur eft toujours l'unité , & 

 que le dénominateur du premier terme , qui eft auffi 

 l'expofant du rapport 7 eft moindre d'une unité que 

 le dénominateur de la fraction que l'on a propofé de 

 réduire en fuite. 



Si les termes du quotient croifferit continuelle- 

 ment , la férié s'éloigne d'autant plus du quotient j 

 qu'elle eft pouftee pius loin ; & elle ne peut jamais 

 devenir égale au quotient, à moins qu'on ne limite 

 ce quotient , & qu'on ne lui ajoute lè dernier refté 

 avec fon propre figne. Par exemple , fuppofons 

 j == 7^r 2 ; on trouvera que le quotient =1 — 2-5-4 



— 8 -j- 16 — 64 4- 1 28, &c. prenons le premier terme 

 1 , il excède— , de ^; deux tenues, c'eft-à-direi — z f 

 feront plus petits de | ; trois termes feront trop grands 

 de } ; quatre termes feront trop petits que y de -y- , 

 &c. Si l'on fuppofe que la férié ou la fuite fe termine 

 au terme — 8 ; alors on aura — 1 — 2 + 4—8 



4-^;maisi-2 + 4-8=~5 



— : ainfi 



LA 

 3 



3* 



lais , dira-t on , qu'exprime donc alors une pa- 

 reille fuite ? car par la nature de l'opération , elle doit 

 être égale à la quantité ou fraction propofée ; & ce- 

 pendant elle s'en éloigne continuellement. Un auteur 

 nommé Guida Ubaldus, dans fon traité dé quadratura 

 circuli & hyperboles , a pouffé ce raifonnement plus 

 loin , & en a tiré une conféquènee fort fmguliere. 

 Ayant pris la fuite {- ==! ~ , & ayant fait la divifion 

 il a trouvé au quotient 1 — 1 -f 1 — 1 + 1 — 1 , &c« 

 qui à l'infini ne peut jamais donner que 1 ou o ; fça- 

 voir 1 , fi on prend un nombre impair de terraes ; & 

 o , fi on prend un nombre pair. D'où cet auteur a 

 conclu que la fraction § pouvoit devenir 1 par une 

 certaine opération , & que o pouvoit être auffi égal à 

 -, &: que par coniéquent la création étoit poffibie, 

 puifqu'avec moins on pouvoit faire plus» 



L'erreur de cet auteur venoit de n'avoir pas remar- 

 qué que la fuite 1 — 1 -j- 1 - 1, &c. & en général 

 1 — c -\- c 1 — c~> &c. n'exprinloit point exactement la 



valeur de la fraction — Car fuppofons qu'on ait 



pouffé le quotient de la divifion jufqu'à cinq. termes; 

 comme la divifion ne fe fait jamais exactement , il y 

 a toujours un refte ; foit ce refte r j &c pour avoir le 

 quotient exact , il faut , comme dans la divifion ordi- 

 naire j ajouter ce refte r divifé par le divifeur i-j-t, 

 à la partie déjà trouvée du quotient. 



Ainfi fuppofons que la férié générale foit terminée 



C -j- C — - C> -f- — i 



1 + c ' 

 1 ■+ c — c 1 c- + cî — c 3 - c 4 



1 -f- c 



Par confé- 



quent la valeur exacte de y = — ~ - efti — i-f-i — 1 



+ & cette valeur fe trouve toujours ég;ale 



à |- , & non pas zéro à 1 . Voye{ dans les Mémoires 

 de Vacddém. de tyiS. un écrit de M. Varignon , oh. 

 cette difficulté eft éclaircie avec beaucoup de foin. 



Pour s'inftruire à fond de la matière des fuites , on 

 peut confulter le traité de M. Jacques Bernoulli , in- 

 titulé Tractatus de feriebus infinitis , earumque fummâ 

 finitâ , imprimé à Balle en 1714 , à la fuite de YArs 

 conjeclandi du même auteur ; le feptieme livre de 

 YAnalyfe démontrée du P. Reyneau ; l'ouvrage de M* 

 Newton , intitulé Analyjîs per œquationes numéro ter- 

 minorum infinitas ; enfin le traité de M. Stirling , de 

 fummatione ferierum $ & celui de M. Moivre , qui a 



