S P H 



C=c , &AC=±ac, alors Bt=b 9 A B == a h , & 



bc = B C. Enfin fi dans deux triangles fphériques 

 AB—ab , AC=ac,&B C=b c ; donc A fera égal 

 a , ^ & C =: e ; les démonftrations de ces 

 propriétés font les mêmes que celles des propriétés 

 femblables qui fe rencontrent dans les triangles plans; 

 car les proportions fur l'égalité des triangles reftili- 

 gnes s'étendent à tous les autres, é-cpourvu que leurs 

 côtés foi ent femblables. Voyei Triangle fphérique 

 ifocel.e. { 



z°. Dans un triangle ABC, fig. ,,. les angles à la 

 bafe B & C font égaux ; & fi dans un triangle fphéri- 

 que les angles B & C à la bafe B C font égaux , le 



nangle eft iiofcel 



3°. Dans tout triangle fphérique chaque côté eft 

 moindre qu'un demi-cercle ; deux côtés quelcon- 

 ques pris enfemble font plus grands que le troifieme; 

 tous les trois côtés pris enfemble font moindres que 

 la circonférence d'un grand cercle , le plus grand cô- 

 té eft toujours oppofé au plus grand angle , & le 

 moindre côté au moindre angle. 



4°. Si dans un triangle fphérique BAC, fig. / j . 

 deux côtés AB & B c?pris enfemble font égaux à un 

 demi -cercle , la bafe A C étant continuée en D , l'an- 

 gle externe B CD fera égal à l'angle interne oppofé 



bac. ^ 



Si deux côtés pris enfemble font moindres ou plus 

 grands qu'un demi-cercle , l'angle externe BCD fera 

 moindre ou plus grand que l'angle interne oppofé ^f, 

 & la converfe de toutes ces propositions eft vraie ; 

 favoir , fi l'angle B CD eft égal ou plus grand , ou 

 moindre que A, les côtés A B&cBC font égaux, ou 

 plus grands , où moindres qu'un demi-cercle. 



5°. Si dans un triangle fphérique A B C , fig. [2 . 

 deux côtés A B & B C font égaux à un demi-cercle, 

 les angles à la bafe A & C font égaux à deux angles 

 droits ;fi les côtés fontpius grands qu'un demi-cercle , 

 les angles font plus grands que deux droits ; & files' 

 côtés font moindres , les angles font moindres , & ré- 

 ciproquement. 



6°. Dans tout triangle fphérique chaque angle eft 

 moindre que deux droits ; & les trois enfembfe font 

 moindres que fix angles droits , & plus grands que 

 deux. 



7°. Si dans un triangle fphérique BAC, les côtés 

 AB &BC font des quarts de cercle , les angles à la 

 bafe B & C feront des angles droits ; fi l'angle A 

 compris entre les côtés AB &cACeû un angle droit, 

 B C fera un quart de cercle ; fi A eft un angle obtus ' 

 B C fera plus grand qu'un quart de cercle ; & s'il eft 

 aigu , B C fera moindre , & réciproquement. 



8°. Si dans un triangle fphérique rectangle , le côté 

 BC,fig 14. adjacent à" l'angle droit B , eft un quart 

 de cercle , l'angle A fera un angle droit ; fi B £ eft 

 plus grand qu'un quart de cercle , l'angle A fera ob- 

 tus ; & fi B D eft moindre qu'un quart de cercle , 

 l'angle A fera aigu, & réciproquement. 



'9 0 . Si dans un triangle fphérique re&angïe chaque 

 côté eft plus grand ou plus petit qu'un quart de cer- 

 cle , l'hypothénufe fera moindre qu'un quart de cer- 

 cle , 6l réciproquement. 



io°. Si dans un triangle fphérique A B C,fig. i3) rec- 

 tangle feulement en B , un côté C B eft plus grand 

 qu'un quart de cercle , & l'autre côté A B moindre , 

 l'hypothénufe A B fera plus grande qu'un quart de 

 cercle ,& réciproquement. 



1 1 °. Si dans un triangle fphérique obliquangle ABC, 

 fig.'C. les deux angles à la bafe A.&cB , font obtus ou 

 aigus , la perpendiculaire C D qu'on îaiffera tomber 

 du troifieme angle Cfxxr le côté oppofé A B , tombera 

 dans le triangle ; fi l'un d'eux A eft obtus , & 1 autre 

 5 aigu , la perpendiculaire tombera hors du triangle. 



1 1°. Si dans un triangle fphérique A B Ctous les an- 

 gles A, B , &cC font aigus , les côtés font chacun 



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moindres qu'un quart de cercle. Amû , fi dans un 

 triangle fphérique obliquangle un côté eft plus prand 

 qu'un quart de cercle , il y a un angle obtus , (avoir 

 celui qui eft oppofé à ce côté. 



1 3 0 . Si dans un triangle fphérique A CB , deux ail* 

 gles A & B font obtus , & le troifieme Caigti*, l es 

 côtés AC&.CB oppofés aux côtés obtus font plus 

 grands qu'un quart de cercle ; ainfi fi les deux côtés 

 font moindres qu'un quart de cercle , les deux anples 

 font aigus. 



14 0 . Si dans un triangle fphériquetousles côtés font 

 plus grands qu'un quart de cercle , ou-bien s'il y en a 

 deux plus grands , & un qui foit égal à un quart de 

 cercle , tous les angles font obtus. 



A Si dans un triangle fphérique obliquangle deux 

 côtes font moindres qu'un quart de cercle , & le troi- 

 fieme plus grand , l'angle oppofé au plus grand fera 

 obtus & les autres aigus. Wolf& Chamhers. 



Sur la réfolution des triangles fphériques, voyez 

 Triangle. v c 



Les propriétés des triangles fphériques (ont démon- 

 trées avec beaucoup d'élégance & de Simplicité dans 

 un petit traité qui eft imprimé à la fin de VimroducUo 

 ad veram Aflronomiam , de M. Keill, M. Deparcieux 

 de l'académie royale des Sciences de Paris & de celle 

 de Berlin , a donné au public en 1741 , un traité de 

 Trigonométrie fphérique , i/z-4 0 . imprimé à Paris chez 

 Guérin ; l'auteur démontre dans cet ouvrage les pro- 

 priétés des triangles fphériques , en regardant leurs 

 angles comme les angles formés par les plans oui fe 

 coupent au centre de la fphere • & le's cotés* des 

 triangles fphériques comme les angles que forment 

 entr'elles les lignes tirées du centre de la fphere aux 

 extrémités du triangle ; c'eft- à-dire qu'il fubftitue 

 aux triangles fphériques des pyramides qui ont leur 

 fommet au centre de la fphere. L'académie royale des 

 Sciences ayant fait examiner cet ouvrage par des corn- 

 miffaires qu'elle nomma à cet effet , a jugé aue 

 quoique l'idée de M. Deparcieux ne foit pas abfolu- 

 ment nouvelle, & qu'elle l'ait obligé de charger quel- 

 ques-unes de fes démonstrations d'un affez grand dé- 

 tail , elle lui avoit donné moyen d'en éclaircir & d'en 

 fimplifier un plus grand nombre d'autres , & que cet 

 ouvrage ne pouvoir, manquer d'être fort utile. (O) 



L'aftronomie fphérique eft la partie de l'Aftrono- 

 mie qui confidere l'univers dans l'état où l'œil l'ap» 

 perçoit. Voyc^ Astronomie. 



L'aftronomie fphérique comprend tous les phéno* 

 menés & les apparences des deux & des corps célef- 

 tes , telles que nous les appercevons , fans en cher» 

 cher les raifons & la théorie. En quoi elle eft diftin- 

 guée d'avec l'aftronomie théorique , qui confidere 

 la ftruûure réelle de l'univers , & les caufes de fes 

 phénomènes. 



Dans l'aftronomie fphérique- on conçoit le monde 

 comme une furface fphérique concave , au centre de 

 laquelle eft la terre , autour de laquelle le monde vi- 

 fible tourne avec les étoiles & les planètes , qui font 

 regardées comme attachées à û circonférence ; & 

 c'eft fur cette fuppofition qu'on détermine tous les 

 autres phénomènes. 



L'aftronomie théorique nous apprend par les lois 

 de l'optique , &c. à corriger ces apparences , & à ré- 

 duire le tout à un fyftème plus exa£r. 



Compas fphérique , voye{ COMPAS. 



Géométrie fphérique eft la doârine de la fphere Se 

 particulièrement des cercles qui font décrits fur fa 

 furface , avec la méthode de les tracer fur un plan , 

 & d'en mefurer les arcs & les angles quand on les a 

 traces. 



La Trigonométrie fphérique eft l'art de réfoudre les 

 triangles fphériques , c'eft-à-dire , trois chofes étant 

 données dans un triangle fphérique , trouver tout le 

 refte : par exemple , deux côtés ôc un angle étant 



