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tangente d'un cercle , c'eft-à-dire d'une ligne droite 

 qui touche un cercle fans le couper , interceptée entre 

 deux lignes droites tirées du centre C par les extré- 

 mités de l'arc E A. La ligne F E eft la tangente de 

 l'angle ACE , comme atiffi de l'angle ACIjâe forte 

 que deux angles adjacens n'ont qu'une même tan- 



gente commune. 



Co-tangente ou tangente du complément , c'eft la tan- 

 gente d'un arc qui eli le complément d'un autre arc 

 à un quart de cercle. Voye^ Complément. 



Ainfi la tangente de l'arc A H feroit la co-tangente 

 de l'arc A E , ou la tangente du complément de l'arc 

 AE. 



Trouver la longueur de la tangente d'un arc quelcon- 

 que, le Jinus de l'arc étant donné. Suppofons l'arc AE, 

 le finus donné A D , & la tangente cherchée E F. 

 Puisque le finus & la tangente font perpendiculaires 

 au rayon E C, ces lignes font parallèles entre elles : 

 ainfi le co-ûnus D C eft au finus A D comme le finus 

 total eft à îa tangente E F. Voye^ Sinus. 



C'eft pourquoi ayant une table des finus , on con- 

 firait facilement une table des tangentes. 



Les tangentes artificielles font les logarithmes des 

 tangentes des arcs. Voye{ LOGARITHME. 



La ligne des tangentes eft une ligne que l'on met 

 ordinairement fur le compas de proportion, Foye^va 

 la defcfiption & l'ufage à l'article Compas de pro- 

 portion. 



Tangente d'une feftion conique , comme d'une 

 parabole , c'eft une ligne droite qui ne touche ou qui 

 ne rencontre la courbe qu'en un point , fans la cou- 

 per ou fans entrer dedans. Voye^ Conique, Cour- 

 be , &c. 



En générai , tangente d'une ligne courbe eft une 

 ligne droite qui étant prolongée de part & d'autre du 

 point ou elle rencontre cette courbe , eft telle que 

 les deux parties à droite & à gauche de cette ligne , 

 tombent hors de la courbe , oz. qu'on ne puifie me- 

 ner par ce même point aucune ligne droite qui foit 

 entre la courbe & la tangente > & dont les deux par- 

 ties foient fituées hors de la courbe. 



Méthode des tangentes. C'eft une méthode de dé- 

 terminer la grandeur & la pofition de la tangente 

 d'une courbe quelconque algébrique , en fuppofant 

 que l'on ait l'équation qui exprime la nature de cette 

 courbe. 



Cette méthode renferme un des plus grands ufages 

 du calcul différentiel. Voyt{ Différentiel. 



Comme elle eft d'un très-grand fecours en Géo- 

 métrie , elle femble mériter que nous nous y arrê- 

 tions ici particulièrement. Voye{ Soutangente. 



Trouver la foutangente d'une courbe quelconque algé- 

 brique. Soit la demi-ordonnée p m infiniment proche 

 d'une autre ordonnée F M (P/. anal.fig. P p 



fera la différentielle 'de l'abfcilfe ; 6k; abaiflant la per- 

 pendiculaire m R~ P p , Rm fera la différentielle de 

 la demi-ordonnée. C'eft pourquoi tirant la tangente 

 TM, l'arc infiniment petit Mm ne différera pas d'une 

 ligne droite. Ainfi M m Riera un triangle rectangle 

 re&iligne appellé ordinairement le triangle différentiel 

 ou caractériflique de la courbe ; à caufe que les lignes 

 courbes font diftinguées les unes des autres par le 

 rapport variable des côtés de ce triangle. 



Or à caufe du parallélisme des lignes droites m R 

 &TP l'angle MmR= MTP ; ainfi le triangle 

 MrnR eft femblable au triangle TMP. Soit donc 

 AP ' = x 9 P M— y , on aura Pp—mR—dx, & 

 RM— dy. Par conféquent 



RM .mRllPM.PT 



dy . dx:: y . -jy 



Préfentement fi on fubftitue , dans l'expreflion 



générale ^ de la {ous-tangente P T, la valeur de dx 



prife de l'équation donnée d'une courbe quelcon- 



que , les quantités différentielles s'évanouiront , & 

 la valeur de la {ous-tangente fera exprimée en quan- 

 tités ordinaires ; d'où l'on déduit aifément la déter- 

 mination de la tangente ; ce que nous allons éclaircir 

 par quelques exemples. 



i û . L'équation qui exprime la nature de la para- 

 bole ordinaire eft a x =y". 

 d'oii l'on tire a dx = xy dy. 



& 



d x — 



ly dy 



donc P T=z ^— = i^— = C'eft- 



dy a "-y a a 



à-dire que la iom-tangente eft double de l'abfcifte. 

 2°. L'équation du cercle eft 



a x — x x —y y 



donc 



adx — ix d x — iy dy 



d 



x 



i.y à y 



a — i x 



doncPJ=^=: 



dy 



■>-y 1 d y __ xyi- 



a — 1 x x dy a — i x 



a x — x x 

 a t 



3 0 » L'équation d'une eïlipfe eft 

 a y z — a b x — b x z 



ainfi laydy — abdx— xb x dx. = dx 



dy ab — i. b x 



bx 



bx*- 



2. a x — z x - 



ab — 1 b x 



Soit a y m + b x n + c y x s + e = 0 , qui eft l'é- 

 quation pour un grand nombre de courbes algébri- 

 ques , 



m ay m ~ 1 dy -\-nbx n ~ l d x -J- s cy x*~ l d x -f- 



, r- 1 s , 



-j- r cy x dy — 0 



b x n 1 dx -J- s c y r x* 1 dx——m a y d y — 



r— I s , 



— r cy x d y 



£ x m a y m ~ l dy - rcy r ~ l J^_dy 



+ s cy- 



PT- y 4 x 



dy 



-may 



rc y 



nbx n 



+ scy 



• x n — — a x 

 b = — a. n= i 



Suppofons , par exemple y- — a x — 0 ; alors 9 en 

 comparant avec la formule générale , on a 



ay m —y~ 

 a — 1. m — % 



c y T x s '— o 



c — o. r—o. s—o 



En fubftituant ces Valeurs dans la formule générale 

 de la ÎQMS-tangente , on a la (ous-tangente de la para- 

 bole du premier genre = 2 y : a. 

 Suppofant — x* + axy=o, alors on aura . 

 a y m =y 3 ; b x n x> ; a — 1 mz=. y',b— \ \ n—^m 



cy r x s — — a x y ; e — o 



c — 



r — 1 



a ; s = 1 



En fubftituant ces valeurs dans la formule générale 

 de la {ous-tangente , on a la {ous-tangente de la courb© 

 dont l'équation eft donnée , P T— ( — 3 + a J x )- 

 (_ 3 x n - — a y) — (^yi — a xy) : (3 x"~ + ay) ; par 

 conféquent^ T= (>y>- axy): (3 x* + .ay)-x = 

 = (3J 3 — œxy — 3 x^ — axy): (3 x -1 -f- ay) — (3 axy 

 — 2 axy): 3 x 2 + a y ; la valeur dej 3 — * 3 » c'eô- 

 à-dire a x y .-(3 x 1 -f a y) étant fubftituée après l'a- 

 voir prife de l'équation de la courbe. 



Quand l'expreffion de la {ous-tangente eft négati- 

 ve, c'eft une marque que cette {ous-tangente tombe 

 du côté oppofé à l'origine A des x, comme dans la 

 fig. 13. Au contraire , quand la {ous-tangente eft pofi- 

 tive , elle tombe du côté de A, comme dans les fig. 

 ix. 1^. n°. 1. & 14. n°. x. 



Quand la {ous-tangente eft infinie , alors îa tangente 

 eft parallèle à l'axe des comme dans les fig. '5* 



