THEORIE DER KLEINEN PLANETEN. SECHSTES KAPITEL. 



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Hier will ich mich zunächst auf die Fälle beschränken, in denen die ge- 

 nannten Grössen sehr klein sind, in denen also die Gleichung 189) für die erste 

 Annäherung besteht. 



Das Argument w ist durch die Relation 164) 



w = {l—fij)v — B — fiV 



gegeben , und wir können das Integral in der Gleichung 189) nach einem von 

 Gyldön gefundenen Verfahren partieller Integration ausführen, indem wir schreiben : 



Ismnwdv = jz ^ cos niv + ^ / — smnwdv 



^ n(l — Li\ 1 — u-J dv 



190) 



r ^ 1 . , iit rdV , 

 coanwdv = — r-smnw + ^ — cos^uc^av, 



von welchen Gleichungen ich die zweite deswegen anführe, weil wir sie später 

 brauchen werden. Die Funktion V enthält keine Glieder nullten Grades ; sie 

 ist vielmehr ersten Grades in den Fällen , in denen beträchtlich ist , und sie 

 ist zweiten Grades in allen Fällen, in denen als Grösse rein erster Ordnung 

 angesehen werden kann. Ich muss der Bequemlichkeit halber diese Thatsache 

 vorwegnehmen aus dem Folgenden, wo sie (pag. 93) bewiesen werden wird. Wenn 

 wir die linke Seite der obigen Gleichung nach Potenzen von entwickeln , so 

 wird also : 



S, = constans+ -"f"'"'" . cos nw -i\SSl~ 4SI -\ — i- 



Die Constante in dieser Gleichung ist überzählig und wir wollten sie nach dem 

 vorigen Kapitel so wählen , dass sie eine Grösse rein erster Ordnung ist. Die 

 Divisoren n(l — ^^), welche hier auftreten, können nur dann sehr klein sein, wenn 

 die Constante ftj sehr nahe gleich Eins ist. Diese Constante ist aber sehr nahe 

 gleich dem Verhältnisse der mittleren Bewegungen des gestörten und des stö- 

 renden Körpers und sie wird ihren grössten Wert erreichen für diejenigen 

 kleinen Planeten, welche Jupiter am nächsten kommen. Für den Planeten Thüle, 

 welcher von den bis jetzt entdeckten diese Bedingung am nächsten erfüllt , ist 

 ftj etwa gleich | ; es ist aber klar, dass die Convergenz unserer Reihen aufhört, 

 wenn sich allzusehr der Einheit nähert , denn unsere Entwicklung der Stö- 



rungsfunktion beruht ja auf der Bedingung, dass der Quotient -p- merklich kleiner 



als Eins ist, welche dann nicht mehr erfüllt wäre. In diesem Falle lässt sich 

 auch nicht mehr — abgesehen von vereinzelten Specialfällen — von einer pla- 

 netarischen Bewegung sprechen, da der Einfluss Jupiters zu sehr überwiegen würde. 



Es folgt aus dem eben Gesagten, dass die Funktion für alle kleinen Pla- 

 neten als eine Grösse rein erster Ordnung anzusehen ist, und wir können ihr 

 Quadrat, mindestens in der ersten Annäherung , vernachlässigen. Man hat also 

 für den Fall, dass und klein sind: 



Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wise. za Göttingen. Math.-phys. Kl. N. F. Band 1, ». 12 



