THEOEIE DER KLEINEN PLANETEN. DRITTES KAPITEL. 



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Drittes Kapitel. 



Die Integration der Differentialgleichungen für die Glieder nullten, ersten, 

 und zweiten Grades ohne Berücksichtigung der exargumentalen Glieder 

 sowie der Veränderlichkeit von 77; 77' und sinj, <?; sin/, e'. 



§ 1. Die Glieder nullten und ersten Gerades. 



1) Das vorliegende Kapitel wird über die Integration der DiiFerentialglei- 

 ctungen handeln, wie sie in Formel (1), (2), (3), (7) gegeben sind. Es kommen 

 in diesen ausser gewissen Potenzen und Derivierten von t], d, h. ausser lang- 

 periodisch elementaren Teilen, die Funktionen Q, P, Z vor. Die ersteren wollen 

 wir bei unseren vorläufigen Betrachtungen ausser Acht lassen ; ausserdem kommt 

 noch >S, J?, 3 rechts vor. Für diese benutzen wir, soweit sie in der zweiten Po- 

 tenz der Masse auftreten, unsere Ansätze des vorigen Kapitels. Für B wollen 

 wir noch folgende Annahme für den charakteristischen Teil machen: 



(50) S = a.Tj cos (2tü — V j + rf cos (4w — 2v) + a^^ sin'j cos (4^t; — 2d) 



+ «3 ij' cos {2io — V J + fö^. cos {4:1V — v — vj + a.^^ sin j smf cos (4tv — ü — t) J 

 r}'^' cos {4:W — 2vi) + sin^ j' cos (4.tv — 2Di). 



Unsere Entwicklungen schreiten direkt nach Potenzen von Grrössen fort, die 

 mit Excentricität und Neigung vergleichbar sind. Also von diesen Grössen wird 

 es in erster Linie abhängen, bis zu welchem Grade (so wollen wir die Potenzen 

 dieser Grössen nennen) in den Formeln zu gehen ist. Es scheint im allgemeinen 

 für Planeten mit mittlerer Excentricität und Neigung die Mitnahme des zweiten 

 Grades noch erforderlich, die des dritten jedoch nicht mehr. Andererseits treten, 

 wie wir ersahen, noch Potenzen der Masse auf, und zwar kann man sich bei ge- 

 wöhnlichen Planeten in den meisten Fällen mit der ersten Potenz der Masse 

 (ersten Ordnung) begnügen oder braucht nur wenige Glieder zweiter Ordnung 

 nachzutragen. Anders ist es jedoch bei charakteristischen und kritischen Pla- 

 neten, bei welchen eine Mitnahme der zweiten Potenz in den Hauptungleichheiten 

 von Anfang an erforderlich ist. 



Ausserdem bringt die partielle Integration noch das Auftreten exargumen- 

 taler Glieder mit sich, welche, obwohl nominell mindestens zweiter Ordnung, 

 durch hohe Potenzen der Divisoren verhältnismässig gross und gemäss unserer 

 dV . 



Definition des — ; — mindestens von einem um eins höheren Grade werden als 

 av 



diejenigen Glieder, aus denen sie entstehen. Deswegen dürfte es bei kritischen 

 Planeten ganz besonders geboten sein, auch die aus den Gliedern zweiten 



Abhdlgn. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. Math.-phys. Kl. N. J?. Band 2,2. 6 



