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JULIUS KRÄMER, 



Integrals unter Berücksichtigung von y giebt. 

 einmal : 



sin [ax + hy), 



DitFerentiieren wir, so folgt 



und 



dx 



—— = sm(ax + by) + 

 dx V ' ß 



y — consfc. 



f sin {ax + by)dx 



dy dq) 

 dx dx 



Aus der Gleichsetzung beider Ausdrücke ergiebt sich zur Bestimmung von 

 cp folgender DifFerentialausdruck : 



dcp 



dx 



ß r 2/ = const. 



f sin {ax + by)dx 



dy 



dy_ 



dx 



dy 



y = const. 



dy_ 

 dx 



(91) 



Es lautet demnach das Resultat; 



y — const. 



J = J sin{ax-\-'by)dx — 



y — const. 



dx. 



dy_ 

 dx 



dx. 



Das Integral ohne Index ist wieder über x und y zu erstrecken; wendet 

 man obiges Verfahren von neuem auf dieses erste Integral an, so folgt: 



2/ = const. »/= const. 



y— const 



(91a) 



J = y + ly)dx — J '^\^J' i^''^ + %) 



iy = const. y =z const. 



dy 



dx 



dx 



+ 



lij y ¥ [/'^^ ^""^ + H f H i ^"^^ 



Und so Hesse sich die Reihe leicht weiter fortsetzen. Die Integrationen 

 sind hier aus gutem Grunde nicht ausgeführt, ebenso die Differentiationen, denn 



wir haben ja ^bei uns -^^j iii periodischer Form. Wir komponieren dies 



dann mit dem Integranden und integrieren jetzt erst. 



Wie man sieht, muss bei der letzten Integration, mit der man die Reihe 

 abbrechen will, y doch als konstant betrachtet werden. Hier tritt aber schon 



^\ auf, bei uns 



dx 



dV 



dv 



und dies ist v. d. Ord. 



Würde nun der Koeffi- 



cient von sin [ax-^-hij) v. d. Ord. ni' sein und durch jede Integration den Divisor 

 a = 8^ erhalten, so würde er also infolge des dreimaligen Integrationsprocesses 



mJ l dV"^ m'^ — 

 werden X = ? während der Koefficient, ohne Berücksichtigung des V 



V. d. Ord. -TT wäre. 



Es entsteht eine Reihe von folgender Form: 



