THEORIE DER EL]']INEN PLAN1ETEN. VIERTES KAPITEL. 



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WO den Fehler annullieren soll, also sein muss 



dx dx^ J J dx 



Fährt man so fort, so erhält man folgende Reihe für das Integral: 



(Ii) 



^ dx-'J dx 

 wo •j^'„ das Restglied der Reihe vertritt. 



^ _ f^f^dx^-^ 

 ^" - J dx-J dx '^'^ 



Hieraus folgt sofort die bekannte Thatsache, dass, wenn f eine ganze ra- 

 tionale Funktion (w — l)ten Grades ist, ^„ streng Null wird, ein endlicher In- 

 tegrationsprozess also zum Ziele führt. Eine gute Annäherung wird aber diese 

 Methode im Falle langperiodischer Funktionen geben. Denken wir uns 9 = 

 kurzperiodisch , /' = langperiodisch , und zwar /' = sin gx , g y. d. Ord. m', so 



dy 



wird V. d. Ord. also selbst im Falle kritischer Planeten, wo <p lang- 

 periodisch charakteristisch ist, würde werden, wenn wir von den Potenzen der 

 Excentricität absehen , 



dtp^ ,„ m' ,„ m' 



ITx = "^"•df ^^^P- ■ 



oder im Grenzwerte von d^^ = y^m'^ 



^ = resp. 



Der erste Fall entspricht den Funktionen S, B, Z, K, der zweite F. Brechen 

 wir nun mit dem zweiten Gliede ab, sehen also schon den ersten Differentialquo- 

 tienten als konstant an, und vernachlässigen so werden wir die Variabilität 

 von / bei einem Gliede v. d. Ord. m'? in der Differentialgleichung für 8, B, 

 Z, K , resp. m' in der für V vernachlässigen , also ungünstigen Falls einen 

 Fehler v. d. Ord. m' resp. \l m' im Integral begehen. Hätten wir dagegen f als 

 konstant angesehen, so wäre der Fehler v. d. Ord. \in^ resp. nullter Ordnung 

 geworden. Es zeigt dies, dass die Annäherungsmethode wirklich eine solche ist und 

 dass wenigstens das zweite Glied der Reihe (93) noch mitgenommen werden muss. 



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