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Die Formel (93) wird daher bei langperiodischen Funktionen f, wo der Dif- 

 ferentialquotient um eine Ordnung kleiner wird als die Funktion, eine schnell 

 fallende Reihe darstellen, welche ausserdem mit den Potenzen von Excentricität 

 oder Neigung multipliziert ist. 



Die Anwendung dieser Formel auf Ausdrücke wie : 



sin (ww — 2v) = tf sm{nw — 2v -\-2n) 



sm 



geschieht dadurch, dass man den Sinus auflöst und ^^^211 als die langperiodi- 

 sche Funktion f betrachtet. Wir wollen im folgenden die Integrationsformeln 

 für die bei uns auftretenden langperiodischen Funktionen geben, indem wir schon 

 deren ersten Diflferentialquotienten als konstant betrachten. Auch in F wollen 

 wir nicht weiter gehen und auf das bei den exargumentalen Grliedern hierüber 

 Gresagte verweisen. 



Für die Glieder ersten Grades hat Herr Brendel im sechsten Kapitel der 

 Theorie der kleinen Planeten die Formeln gegeben. (Formel 214, 221, 235). Sie 

 sollen deswegen hier nur für den zweiten Grad hingeschrieben werden. 



r 2sin ^ 2 r^in j rr^i^ ? 2 



f94:) irr nivdv = ri nivdv r—ll nivdv 



^ ■' J ' cos ^ cos dv cos 



/ frf sm{;mü±2v)dv — '>fcos2nfsm(niv±2v)dv::f')fsm2njcos(mv±2v)dv 



dri'G0s2n pr . , _i_o x -7 2_i. dr^s\n.2Tlnn , , „ n , 

 ~~dÄ) ^ ' — (fe 



frf cos {nw ± 2v) dv = rfcos 2lz/cos {niv ± 2v) dv ± rf sin 211 f sin {mv ± 2v) dv 



drt cos2n Pf , ,^.,^—difs\n2npp. . , „ ^ , 

 -!— J I cos (»i«; ± 2v) dv + j j sm {nw ± 2v) dv . 



Für den störenden Planeten gelten diese Formeln unter Berücksichtigung 

 folgender Substitution: ri\\7j', n \\ n„ y\\y,. 



friri' sin [mv ± (v + vJJ dv == viri' cos {Il+nj f sin {mv ± 2v) dv + Tjrj'sin {TI+II^ Jcos {nw ± 2v) dv 



yjä^^^JIl fßin {mv ± 2v) dv^ ± ^^^^^^|^^//cos {nw ± 2v) dv^ 



f rirj' cos [mv ± (v + v J] dv = ijtj'cos {TI+TI^f zos {mv ± 2v) dv ± t^ij'sin (il+JIj/sin {mv ± 2v) dv 

 _M^2^^ffios {nw ± 2v) dv^ T M^l^Jsin (n^(; ± 2v)dv^ 



frjT]' sin [mv ± (v — v J] dv = r^r]' cos {U—II^ f sin nw dv + »jrj' sin (IZ— TTj/cos mv dv 



— ^ / / sinnio dv^ ± — ^ J / cos nwdv^ 



f fj?]'cos [mv ± (v — vj] dv == r}r{ cos {II— n^) f cos nw dv ± ^]r( sin {Il—Il^ fsva. nw dv 



dnv'cos{n—n,) pp j ,^dt]rj'sm{n—n^) pp . ,^,„,2 

 — ^ J ' — JJsmnwdv''. 



