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PH. FURTWÄNGLER, 



Diesem Umstände — oder der eigenen Ungesckickliclikeit — schreibt der 

 Verfasser es zu , dass es ihm nicht gelungen ist , die Reciprocitätsgesetze der 

 pen Potenzreste in gewissen algebraischen Zahlkörpern zu beweisen, ohne die- 

 selben bereits für den Kreiskörper der ^'""^ Einheits würz ein als bewiesen anzu- 

 sehen ; das sogenannte Eisenstein'sche Reciprocitätsgesetz bildet daher einen 

 wesentlichen Bestandteil des Fundamentes der folgenden Entwickelungen. 



I. 



Definitionen und vorbereitende Sätze. 



Das Symbol im Grundkörper k. 



Es sei l eine ungrade Primzahl und Z der durch eine Einheits wurzel 

 g definierte Kreiskörper. Der Körper, der den folgenden Betrachtungen zu 

 Grunde liegt, ist dann ein beliebiger Oberkörper k des Kreiskörpers vom 

 Relativgrade m, also vom Grade m(I — l). 



Definition 1. Es sei p ein in dem Ideal I = nicht aufgehendes 



Primideal des Körpers 7c und a eine beliebige zu p prime ganze Zahl in Je. 

 Wir nennen dann a einen l^^"" Potenzrest von p, wenn es eine ganze Zahl ß in 

 Ic giebt, die der Congruenz 



a = ß\p) genügt. 

 Satz 1. (Hülfssatz). Wenn im Körper Je eine Congruenz 



a = ß'(p) 



besteht, wo « zu p prim ist, so giebt es auch eine ganze Zahl y in Je, die der 

 Congruenz 



a = y'ip') 



genügt, wo e eine beliebige rationale positive ganze Zahl bedeutet. 

 Beweis: Es möge in Je die Congruenz 



a = ß'(p^ gelten, aber 



a — ß' nicht durch p^"^* teilbar sein. 



Wir weisen dann nach, dass man stets eine ganze Zahl y in Je bestinmien 

 kann, die der Congruenz 



a = y'ip^''^) genügt. 



