ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DEE P^'^ POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 5 



Bedeutet n eine ganze durch p, aber nicht durch teilbare Zahl in h und 

 eine beKebige zu p prime Zahl in /.', so gilt offenbar die Congruenz 



iß + ß,7tj ^ ß'+iß'-^ßy (r). 



Bestimmt man nun, was stets möglich ist, ß^ so, dass 



^f- ^ Iß'-^ß, ip), 



so ist offenbar y = ß + ß^n^ eine Zahl, die der Congruenz 



a = y' (p^"^') genügt. 

 Wir fügen hier gleich den entsprechenden Satz für ein in l aufgehendes Prim- 

 ideal Ij an. 



Satz 2. (Hülfssatz). Es sei ein in dem Ideal I genau zur Z^^*"" Po- 

 tenz aufgehendes Primideal. Sind dann a und ß zwei zu Ij prime ganze Zahlen, 

 die der Congruenz 



<x = ß' 



genügen, so ist auch die Congruenz 



wo e eine rationale, positive, ganze Zahl grösser als 1 bedeutet, in h lösbar. 



Beweis: Es sei eine durch die erste Potenz von 1^ genau teilbare 

 ganze Zahl in 7c. Es gilt dann die Congruenz : 



iß + ß, = ß'+ ß^ Kt' i'^""'""') f>o 



da stets: (l-l)l, + 2l, + 2f > lJ, + f+l 



Ik + lf^ lh + f+1. 

 Gilt nun bereits die Congruenz 



a = ß' 



und bestimmen wir ß^ so, dass 



a-ß' = lß'-'k\^^^ß, (r/i-'^+O, 

 so gilt offenbar, wenn wir 



y = |3 + /3, setzen, auch 



Um nun das Symbol ^-^j in h zu definieren, müssen wir vorerst noch 



einen Hülfssatz über die Normen der zu I primen Primideale in It ableiten. 

 Dieser lautet : 



Satz 3. (Hülfssatz). Ist p ein beliebiges zu I primes Primideal in h 

 und bezeichnet n{p) die Norm von p, so besteht die Congruenz 



n{p) ^1 il) 



