■DBEE DAS EECIPROCITÄTSGESETZ DER Z*^" POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 7 



Ein vollständiges System von n(\})-l zu p primen und nach p einander incon- 

 gruenten Zahlen zerfällt offenbar in l Teilsysteme, so dass alle Zahlen eines 

 Teilsystems denselben Potenzcharakter besitzen. Eins dieser Teilsysteme mit 



dem Potenzcharakter 1 enthält speciell " ^ V-^ Potenzreste nach p. 



Endlich definieren wir noch : 



Definition 3. Ist a ein beliebiges Ideal in h, so ist 



(T)-(7)(f)(T)--- ■ - 



wenn a = )3.q.r... 



die Zerlegung von a in Primideale ist. . 



§ 2. 



Der relativ - cyclisclie Körper K vom Primzahlrelativgrade l in bezug 

 auf k. Seine Relativdiscriminante und die Zerlegung der Primideale des 



Grundkörpers in ihm. 



Ist yb eine beliebige ganze Zahl in ä-, die nicht die 1^^ Potenz einer Zahl in 

 h ist, so entsteht durch Adjunktion von zu den Zahlen des Körpers ein 

 neuer Körper K(\J^,Jc), der relativ-cycHsch in Bezug auf ?c vom Relativgrade l 

 ist. Ersetzt man in den Zahlen des Körpers K die Zahl v';* durch so 

 entsteht aus K ein zu K relativ conjugierter Körper. Wir bezeichnen die an- 

 gegebene Substitution mit >S'. Die sämtlichen relativ conjugierten Körper gehen 

 dann aus K hervor durch Anwendung der Substitutionen : 



8, s^ . . . s'-\ 



Es ist nun zunächst unsere Aufgabe, die Primfaktoren der E,elativdiscriminante 

 von K aufzusuchen und die Zerlegung der Primideale des Grundkörpers h im 

 Oberkörper K aufzufinden. Wir trennen zu diesem Zweck die Primideale des 

 Grrundkörpers Je in zwei Kategorieen , nämlich in solche , die zu dem Ideal 

 I = (1 — 0 relativ prim sind und solche, die in I aufgehen. Bezüglich der er- 

 ster en gilt folgendes: 



S a t z 6. Es sei :p ein zu I primes Primideal in Je. Geht dann p genau 

 zur a*^° Potenz in ^ auf und ist erstens a ^ 0 (l) , so geht p in der Relativ- 

 discriminante von K auf. Das Primideal p wird dann in K die Potenz eines 

 ambigen Primideals: 



p ^w- 



Ist zweitens a = 0 (l), so geht p in der Relativdiscriminante von K nicht auf. 

 Wir können dann a = 0 annehmen, da wir, ohne den Körper K zu ändern, 



