8 



PH. FUETWÄNGLER, 



durch eine geeignete Zahl fi* ersetzen können, die zu p prim ist. Es zerfällt 

 in diesem Falle p in das Produkt von l verschiedenen Primidealen in K oder 

 bleibt auch in K Primideal, je nachdem 



^) - 1 (^) + 1- 



Die Beweise für diese Behauptungen beruhen auf ganz analogen IJeber- 

 legungen, wie sie Hilbert in Rel. quadr. Z. § 4 und § 5 angestellt hat. Ich 

 gehe deshalb nicht weiter darauf ein. Ausführlicher muss ich dagegen bei der 

 zweiten Categorie von Primidealen, die in I aufgehen , verweilen. Für diese 

 werden die in Betracht kommenden Verhältnisse durch die folgenden Sätze 

 klargelegt. 



Satz 7. Ist Ij ein in I genau zur Potenz aufgehendes Primideal in 



Ji- , das in /u. genau zur a*®° Potenz aufgeht und ist a ^ 0 (l), so geht Ij in der 

 Relativdiscriminante von K auf und wird in R die Z*® Potenz eines ambigen 

 Primideals. 



Die Ueberlegungen zum Beweise dieses Satzes unterscheiden sich nicht von 

 denen, die für die zu I primen Primideale gelten. 



Ist a = 0 {!), so kann man wieder a = 0 annehmen. "Wir setzen daher 

 im Folgenden voraus, dass (i zu Ij relativ prim ist. Es gilt dann : 



Satz 8. (Hülfssatz). Ist 1^ ein in I genau zur Potenz aufge- 



hendes Primideal in h und (i zu I, relativ prim, so geht Ij in der Relativdiscri- 

 minante nicht auf, wenn eine Congruenz 



= (i«0 



erfüllt ist, wo a eine ganze Zahl in k bedeutet. 



Beweis: Es sei Aj eine durch Ij, aber nicht durch teilbare ganze Zahl 



/l 



in Ä-, ferner sei q eine ganze Zahl in h, die durch -~ teilbar ist und zu I, re- 



lativ prim ist. Es ist dann, wenn wir 



setzen, Ä eine ganze Zahl in K, da die aus A und den zu A relativ conju- 

 gierten Zahlen gebildeten symmetrischen Funktionen ganze Zahlen in Jv sind, 

 wenn die Congruenz 



gilt. Die ßelativdiscriminante der Zahl Ä ist nun 



also zu prim. Folglich ist auch die Relativdiscriminante von K zu 1^ prim. 



