ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZBESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖEPERN. 9 



Satz 9. (Hülfssatz). Ist der grösste Exponent«, für den eine Con- 

 gruenz 



fi ^ (II) 



besteht, kleiner als und incongruent Null nach l, so geht in der ßelativ- 

 discriminante von K auf. 

 Beweis: Ist 



e = rl + s r<Z,— 1 0 < s < l 



so kann die Zahl « — M, wo M gleich y'ft ist , höchstens durch 1^ teilbar sein. 

 Daraus folgt, dass die Zahl : 



5 = («-M).(f)' 



eine ganze, nicht durch Ij teilbare Zahl in K ist. Anderseits kann B nicht zu 

 Ii teilerfremd sein, da die Relativnorm von B durch teilbar ist. Es sei der 

 grösste gemeinsame Idealteiler von Ij und B gleich l'j, dann ist = SQ^^ wie 

 aus der folgenden Gleichung sich ergiebt: 



(„-5M)(i)' = („-M)(0 + (l-5).(0-.M. 



Da r kleiner als ist, ist der zweite Bestandteil der rechten Seite dieser 

 Gleichung eine durch teilbare ganze Zahl, also in der That = S2^. Hier- 

 aus folgt, dass ein ambiges Ideal in k ist, mithin = ä\ ein Faktor der 

 Relativdiscriminante von K. 



Wenn das Primideal fj in der Relativ discriminante nicht aufgeht, so sind be- 

 züglich des Verhaltens von Ij in K noch 2 Fälle denkbar, entweder zerfällt 

 in l von einander verschiedene Primfaktoren in K oder es bleibt auch in K 

 Primideal. Um diese beiden Fälle zu trennen, beweisen wir die folgenden Sätze: 



Satz 10. (Hülfssatz). Das Ideal Ij zerfällt dann und nur dann in l 

 verschiedene Primfaktoren in K, wenn eine Congruenz 



besteht, wo a eine ganze Zahl in k bedeutet. 



Zum Beweise nehmen wir erstens an, es zerfalle in l verschiedene Prim- 

 faktoren in K 



= . SQ,. S% . . . S'-^S, 



und weisen dann das Bestehen der angeführten Congruenz nach. Bezeichnet 

 allgemein N die Norm in K, n die Norm in k, so folgt aus der Gleichung 



iSr(Si) = niiX 



dass jede Zahl in K nach einer Zahl in k congruent ist. Sei nun etwa 



Ablidlgn. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. Math.-phys. Kl. N. F. Band 2, 3. 2 



