"ÜBEE DAS EECrPEOCITÄTSGESETZ DER P'''^ POTENZEESTE IN ALGEBEAISCHEN ZAHLKÖEPEEN. 11 



Setzen wir umgekehrt voraus, dass 



so sind die ZaUen 



i = 0, 1, 2 ... l-l 



ganze Zahlen in. K, die nicht durch Ij teilbar sind. Denn wäre eine von ihnen 

 durch teilbar, so müssten alle durch teilbar sein und folglich auch die 

 DifPerenz von irgend zweien unter ihnen, was gegen die Annahme ist, dass 1 

 höchstens durch die If^ Potenz von teübar ist. Andererseits muss sicher 

 eine unter ihnen mit einen gemeinsamen Teiler haben, da das Produkt der 

 genannten Zahlen durch teilbar ist. Bieraus ergiebt sich dann sofort, dass ^^ 

 in K das Produkt von l verschiedenen Primidealen wird. 



Wir haben jetzt noch den Fall zu erledigen, dass Ij im Körper K Prim- 

 ideal bleibt. 



Zu diesem Zweck stellen wir die Zahlen des Körpers K in der Form 

 A- - 



dar, wo die Zahlen a^,, . . ., ß,_j, ß, ganze Zahlen des Körpers h bedeuten, 

 von denen wir annehmen , dass sie nicht sämtlich einen gemeinsamen Teiler 

 haben; ß nennen wir kurz den Nenner der Zahl Ä. Es gilt dann der folgende 

 Hülfssatz. 



Satz 11. (Hülfssatz). Es sei Ij unzerlegbar in K und es sei M ein 

 Modul in K, der alle diejenigen Zahlen 



ß 



umfasst, bei denen ß durch keine höhere Potenz von Ij als I^i"' teilbar ist. Jede 

 Zahl des Moduls M ist dann nach 1^ einer ganzen Zahl in h congruent. 

 Beweis : Es mögen die Zahlen 



^0) • • • 



des Moduls M ein volles Restsystem nach incongruenter Zahlen für den 

 Modul M bilden und es mag die höchste Potenz von Ij, die bei der angegebenen 

 Art der Darstellung in den Nennern der Zahlen A aufgeht, \\ sein, wo 

 0 < e < Zj — 1 ist. Ich behaupte dann, dass auch die Zahlen 



ein volles Restsystem nach \ , für den Modul M bilden , und dass die höchste 

 Potenz von Ij, die in den Nennern dieser Zahlen aufgeht \\ ist, wo 



e' <: e ist, wenn e > 0 ist. 



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