12 PH. FURTWÄNGLER, 



Zu diesem Zweck weisen wir zunächst nach, dass die Zahlen Ä' nach incon- 

 gruent sind. Wäre nämlich 



so müsste, da Ij in K unzerlegbar ist, 



= VA (Q sein, 

 wo a eine ganze rationale Zahl bedeutet. 



Da nun t," A^^ = (IJ , so würde folgen 



A. = (IJ gegen die Voraussetzung. 



Es sind daher die Zahlen A^ in der That nach \^ incongruent und bilden infolge- 

 dessen ein volles Restsystem nach 1^ für den Modul M. Um zweitens einzu- 

 sehen, dass e' < e ist, wenn e > 0 ist, beachte man, dass, wenn 



A ^ 



A\ sich in der Form darstellen lässt: 



ist, 



ß' ß' ~ 6 



wo B eine ganze Zahl in K bedeutet, die ohne Nenner darstellbar ist. Ist nun 

 ß genau durch teilbar, wo < e ist und ist 



l B 



so ist der Bruch offenbar so darstellbar, dass im Nenner eine ganze Zahl 

 aus k steht, die zu Ij relativ prim ist. Dasselbe gilt von — und folglich auch 



6 



von Ä\. 



Ist aber ej > (l — l), so ist doch 



e^l — {l — l) < < e, weil 



^1 — < Z (Zj — e J , wenn > e, , 



IB 



was nach Voraussetzung der Fall ist. Daraus folgt dann, dass als Bruch 



darstellbar ist, dessen Nenner eine ganze Zahl aus k ist, die höchstens durch 

 If teilbar ist, wo e' < e. Dasselbe gilt dann von Aj. Wenn wir das ange- 

 wandte Verfahren nun mit dem neuen ßestsystem 



A, •■• A 



fortsetzen, indem wir wieder die Z**"* Potenzen bilden, so gelangen wir schliess- 

 lich zu einem ßestsystem 



