■ÜBER DAS EECIPHOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 13 



^0, J5,, . . . 



dessen Zahlen mit zu primen Nennern, also auch ohne Nenner darstellbar sind. 

 Bilden wir dann noch einmal die Potenzen 



B^ B^ B' 



so sind auch alle diese Zahlen wieder nach \^ einander incongruent. Ist nun 



B\ = (/3, + /3,M+ ••• 



so wird 



_ B\ = ^\^.^\^^... ß^^y-^ (ij. 



Daraus folgt dann aber , dass alle Zahlen B' und somit alle Zahlen des Moduls 

 M nach fj einer ganzen Zahl aus /.■ congruent sind. 



Unter Benutzung des letzten Hülfssatzes können wir jetzt den folgenden 

 Satz ableiten: 



Satz 12. (Hülf s s atz). Ist ein in I zur Zf^° Potenz aufgehendes 

 Primideal in h und bleibt auch in K Primideal, so giebt es eine ganze Zahl 

 a in l-, die der Congruenz 



^ = cc' (I'/x) genügt. 



Beweis: Die Zahl M gehört dem in Satz 11 betrachteten Modul M an, 

 und ist deshalb einer ganzen Zahl in 7c nach congruent. Folglich haben 

 wir die Congruenzen : 



M-a, = 0 (10 

 SM - ~ 0 (g 



S'-'M-a,= 0 (ü, 



aus denen folgt 



Es möge nun die Congruenz 



(i = al (If) erfüllt sein , 



wo e < — 1. 



Es giebt dann, wie wir zeigen wollen, eine Zahl a^^j, die der Congruenz 



genügt. Haben p und Aj die bereits früher erklärte Bedeutung, so ist die Zahl 



(M-..).(0 



eine ganze Zahl, die dem im vorigen Satze betrachteten Modul M angehört und 

 ist als solche einer ganzen Zahl /3, aus k nach I, congruent: 



