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DAS RECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 15 



geht, so bilde man den Bruch ^ und bringe ihn in die Gestalt wo q und 

 6 zwei ganze nicht durch p teilbare Zahlen in k sind. Wir definieren dann 



m = (f ) 



Das Symbol durch diese Festsetzung eindeutig als eine Einheits- 



wurzel definiert. (Hilbert A, Z. § 131. S. 411). Es gelten für dasselbe die 

 folgenden Formeln : 



Satz 14. Bedeuten fi, v, v^, v*, cc, ß, y, d ganze Zahlen in Je und ist 

 p ein zu I primes Primideal in k, so gilt 



1) (^)=i 



Beweis: Die Gleichungen 1) und 2) folgen unmittelbar aus der Definition 

 des Symbols. Um die erste Gleichung 3) zu beweisen, nehmen wir an, es gehe 

 p in II zur a*«", in v zur Z**«*" und in zur Potenz auf. Es sei dann: 



wo Q, 6, Q^ und 0„ also auch qq^^ und eö^ zu p prim sind. 

 Es ist dann: 



Y ) ■ (ir= m 



Daraus folgt ofi'enbar : 



also das Bestehen 



p I \ p I \ p 

 der ersten Gleichung 3). Die zweite Gleichung 3) ergiebt sich dann mit Hülfe 



