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von 2). Die Richtigkeit der Grleichung 4) endlich sieht man ein , wenn man 

 beachtet, dass : 



(^) = (^) = 1. also (i^) = (i^-^) 



Wir haben jetzt den von Hilbert eingeführten Begriff des Normenrestes 

 (A. Z. § 129. S. 402) mit dem eben definierten Symbol in Verbindung zu brin- 

 gen und beweisen zu diesem Zweck den folgenden fundamentalen Satz. 



Satz 15. Sind v und zwei beliebige ganze Zahlen in h und p ein zu I 

 primes Primideal in /;•, so ist v stets dann und nur dann Normenrest des Kör- 

 pers K ]c) nach p, wenn 



Beweis: Beim Beweise dieses Satzes gehen wir schrittweise vor, indem 

 wir 4 Fälle unterscheiden. 



Vorher bemerken wir noch folgendes. Bezeichnet man mit die ßelativ- 

 norm einer Zahl aus K genommen in Ic, und gilt die Congruenz 



a = (Ä) ip) , 



wo a eine ganze zu p prime Zahl aus /.; , Ä eine solche aus K bezeichnet , so 

 lässt sich leicht zeigen , dass man stets eine ganze Zahl B in K finden kann, 

 so dass 



cc = N, (B) (PO, 



wo e ein beliebiger positiver Exponent ist. Ist nämlich eine ganze Zahl aus 

 K, die der Congruenz 



AA^ = 1 (p) genügt, so gilt 

 aN, {A,) ^1 (p) . 

 Dann giebt es aber nach Satz 1 eine ganze Zahl ß in /;;, so dass 



aN, {A-) = ß' (PO, also 

 a = N, (Aß) (pO wird. 



Nach dieser Vorbemerkung gehen wir zur Behandlung der 4 Fälle über. 



Erster Fall, v und ft sind zu p teilerfremd. Es ist dann stets 



haben also nachzuweisen, dass in diesem Falle v Normen- 

 rest von K nach p ist. Der Beweis hierfür ist verschieden, je nachdem p in 

 K zerlegbar oder unzerlegbar ist. 



1) Es zerfalle p im Körper ^ in Z verschiedene Primideale 



p = ^ . ... S'-'^. 

 Wir lösen dann in K die Congruenzen: 



