ÜBER DAS EECIPEOCITÄTSGESETZ DER POTENZRESTE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 17 



+ A^M + A^M'+ ■ • ■ ■ A.M'-' = V 

 A,+IA,M+^'J^M'-^ ■ ■ ■ r'A.M'-' = 1 



A^ + ^'-'^A,M+ tAM'-' = 1 



die durch folgende Werte der Unbekannten A^, A^, . . . A^ befriedigt werden : 



lA^ = v + l-l\ 

 lA^M = v-1 I 



IA,M'-' = V -1 



Da nun JS (^) = so ist jede ganze Zahl aus K einer ganzen Zahl aus k 



nach ^ congruent. 

 Es sei 



A = A^ = . . . A, = {^) . 



Dann wird 



y = iV,(«,+ «,M+ . . . a,W-') (^). 



Da die Congruenz dann auch nach p gilt , so folgt , wenn wir die zu Anfang 

 des Satzes gemachte Bemerkung berücksichtigen, dass v Normenrest von K nach 

 p ist. 



2) p sei in Ä' unzerlegbar, also ^-^j =}= 1. 

 Es sei dann 



ein volles System incongruenter zu p primer P^'' Potenzreste nach :p in Ic. Dann 

 lässt sich, da 



1, jt, ft^ . . . ft'-* 



nach p einander incongruent sind, weil ^-yj 4= 1 > volles System incon- 

 gruenter zu p primer Zahlen in Ii nach p so schreiben: 



a{, a\, ... 4 

 ft««,, ^a[, . . . f*«^ 



Da nun 



so ist jede zu )fi prime Zahl in also auch v, Normenrest von K nach p. 



Abhdlgn. d. K. Gea. d. Wies, zu Göttingen. Math.-phys. Kl. N. F. Band 2, j. 3 



